Determinar el valor de "K" de modo que los watro puntos a \( (1,2,-1), B(0,1,5) ;((-1,2,1) \) y \( D(K, 1,3) \) eotén en un mismo ptono.

Para determinar el valor de \( K \) de modo que los puntos \( A(1,2,-1) \), \( B(0,1,5) \), \( C(-1,2,1) \) y \( D(K, 1, 3) \) estén en un mismo plano, podemos usar el concepto de determinante. Cuatro puntos son coplanarios si el determinante de la matriz formada por sus coordenadas es igual a cero. Primero, formamos la matriz con las coordenadas de los puntos \( A \), \( B \), \( C \) y \( D \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 1 \\ K & 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \] Para que los puntos sean coplanarios, el determinante de esta matriz debe ser igual a cero: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 1 \\ K & 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \] Calculamos el determinante. Usamos la regla de Sarrus o la expansión por cofactores. Aquí, expandimos por la primera fila: \[ = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ K & 3 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ K & 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ K & 1 & 3 \end{vmatrix} \] Calculamos cada uno de los determinantes: 1. Para el primer determinante: \[ \begin{vmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - 5(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 1(2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = 1(1 - 3) - 5(2 - 1) + 1(6 - 1) \] \[ = 1(-2) - 5(1) + 1(5) = -2 - 5 + 5 = -2 \] 2. Para el segundo determinante: \[ \begin{vmatrix} 0 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ K & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 + 5(-1 \cdot 1 - 1 \cdot K) + 1(-1 \cdot 3 - 1 \cdot K) = 5(-1 - K) + (-3 - K) \] \[ = -5 - 5K - 3 - K = -8 - 6K \] 3. Para el tercer determinante: \[ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ K & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 + 1(-1 \cdot 1 - 1 \cdot K) + 1(-1 \cdot 1 - 2 \cdot K) = -1 - K - 1 - 2K = -2 - 3K \] 4. Para el cuarto determinante: \[ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ K & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0 + 1(-1 \cdot 3 - 1 \cdot K) + 5(-1 \cdot 1 - 2 \cdot K