Utiliza la siguiente gráfica interactiva para esbozar la gráfica de \( y=-3 \log _{3}(1-x)+6 \)

Para esbozar la gráfica de la función \( y = -3 \log_{3}(1-x) + 6 \), podemos seguir estos pasos: 1. **Identificar la función logarítmica**: La función \( \log_{3}(1-x) \) tiene un dominio que depende de la expresión \( 1-x \). Para que el logaritmo esté definido, \( 1-x > 0 \), lo que implica que \( x < 1 \). Por lo tanto, el dominio de la función es \( (-\infty, 1) \). 2. **Comportamiento en el dominio**: - Cuando \( x \) se aproxima a 1 desde la izquierda (\( x \to 1^- \)), \( 1-x \) se aproxima a 0, y \( \log_{3}(1-x) \) tiende a \( -\infty \). Por lo tanto, \( y \) tiende a \( +\infty \). - Cuando \( x \) se aleja de 1, \( 1-x \) se hace positivo y mayor que 0, lo que significa que \( \log_{3}(1-x) \) toma valores negativos y positivos dependiendo de si \( 1-x < 1 \) o \( 1-x > 1 \). 3. **Puntos clave**: - Para \( x = 0 \): \[ y = -3 \log_{3}(1-0) + 6 = -3 \log_{3}(1) + 6 = 6 \] - Para \( x = 0.5 \): \[ y = -3 \log_{3}(1-0.5) + 6 = -3 \log_{3}(0.5) + 6 \] Dado que \( \log_{3}(0.5) \) es negativo, \( y \) será mayor que 6. - Para \( x = 0.9 \): \[ y = -3 \log_{3}(1-0.9) + 6 = -3 \log_{3}(0.1) + 6 \] Aquí, \( \log_{3}(0.1) \) también es negativo, lo que hará que \( y \) sea aún mayor. 4. **Intersección con el eje y**: Para encontrar la intersección con el eje y, evaluamos la función en \( x = -\infty \): - A medida que \( x \) se aleja de 1, \( y \) se comporta como \( -3 \log_{3}(1-x) + 6 \) y se puede observar que \( y \) tiende a 6. 5. **Comportamiento general**: La gráfica tendrá una asíntota vertical en \( x = 1 \) y se acercará a \( y = 6 \) cuando \( x \) se aleje hacia \( -\infty \). ### Resumen de la gráfica: - Dominio: \( (-\infty, 1) \) - Asíntota vertical en \( x = 1 \) - Intersección con el eje y en \( (0, 6) \) - La función decrece desde \( +\infty \) (cuando \( x \) se aproxima a 1) hasta \( 6 \) (cuando \( x \) se aleja hacia \( -\infty \)). Con esta información, puedes esbozar la gráfica de la función. Si tienes acceso a herramientas gráficas, puedes utilizar software como Desmos o GeoGebra para visualizarla de manera más precisa.