[Giochi di Archimede, 2011] La somma di tre numeri interi, \( a, b \) oppure 6. \( b \) per \( a \) dà come risultato \( a

Per risolvere il problema, iniziamo a tradurre le informazioni fornite in equazioni e disuguaglianze. Abbiamo tre numeri interi \( a \), \( b \) e \( c \) tali che: 1. La somma dei tre numeri è 6: \[ a + b + c = 6 \] 2. La relazione tra i numeri è \( a < b < c \). 3. Non è chiaro cosa significhi "b per a dà come risultato", ma possiamo interpretarlo come un'operazione che coinvolge \( a \) e \( b \). Potremmo considerare che \( b \) è un multiplo di \( a \) o che ci sia una relazione di prodotto, ma senza ulteriori dettagli, ci concentreremo sulla somma e sull'ordine. Iniziamo a esprimere \( c \) in funzione di \( a \) e \( b \): \[ c = 6 - a - b \] Ora, sostituendo \( c \) nell'ineguaglianza \( a < b < c \), otteniamo: 1. \( a < b \) 2. \( b < 6 - a - b \) Dalla seconda disuguaglianza, possiamo riscrivere: \[ b < 6 - a - b \] \[ 2b < 6 - a \] \[ b < 3 - \frac{a}{2} \] Ora, abbiamo due disuguaglianze: 1. \( a < b \) 2. \( b < 3 - \frac{a}{2} \) Possiamo provare a trovare i valori di \( a \) e \( b \) che soddisfano queste condizioni. Poiché \( a \), \( b \) e \( c \) sono interi, possiamo provare diversi valori per \( a \). ### Proviamo con \( a = 0 \): - Se \( a = 0 \), allora \( b < 3 \). - Possibili valori per \( b \) sono 1 o 2. 1. Se \( b = 1 \): \[ c = 6 - 0 - 1 = 5 \quad \text{(0 < 1 < 5 è vero)} \] I numeri sono \( 0, 1, 5 \). 2. Se \( b = 2 \): \[ c = 6 - 0 - 2 = 4 \quad \text{(0 < 2 < 4 è vero)} \] I numeri sono \( 0, 2, 4 \). ### Proviamo con \( a = 1 \): - Se \( a = 1 \), allora \( b < 3 - \frac{1}{2} = 2.5 \), quindi \( b \) può essere solo 2. \[ c = 6 - 1 - 2 = 3 \quad \text{(1 < 2 < 3 è vero)} \] I numeri sono \( 1, 2, 3 \). ### Proviamo con \( a = 2 \): - Se \( a = 2 \), allora \( b < 3 - 1 = 2 \), quindi non ci sono valori validi per \( b \). ### Proviamo con \( a = 3 \): - Se \( a = 3 \), allora \( b < 3 - \frac{3}{2} = 1.5 \), quindi non ci sono valori validi per \( b \). ### Proviamo con \( a = 4 \): - Se \( a = 4 \), allora \( b < 3 - 2 = 0 \), quindi non ci sono valori validi per \( b \). ### Proviamo con \( a = 5 \): - Se \( a = 5 \), allora \( b < 3 - \frac{5}{2} = -0.5 \), quindi non ci sono valori validi per \( b \). ### Proviamo con \( a = 6 \): - Se \( a = 6 \), allora \( b < 3 - 3 = 0 \), quindi non ci sono valori validi per \( b \). ### Risultati finali: I tre numeri interi che soddisfano le condizioni sono: 1. \( 0, 1, 5 \) 2. \( 0, 2, 4 \) 3. \( 1, 2, 3 \) Quindi, le soluzioni sono: - \( (