¿Cual es la razón de cambio promedo de \( f(x)=\sqrt{x^{3}-4} \) en el intervalo \( 2 \leq x \leq 3 ? \)

La razón de cambio promedio de una función \( f(x) \) en un intervalo \( [a, b] \) se calcula utilizando la fórmula: \[ \text{Razón de cambio promedio} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \] En este caso, la función es \( f(x) = \sqrt{x^3 - 4} \) y el intervalo es \( [2, 3] \). Por lo tanto, tenemos \( a = 2 \) y \( b = 3 \). Primero, calculamos \( f(2) \) y \( f(3) \): 1. Calcular \( f(2) \): \[ f(2) = \sqrt{2^3 - 4} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2 \] 2. Calcular \( f(3) \): \[ f(3) = \sqrt{3^3 - 4} = \sqrt{27 - 4} = \sqrt{23} \] Ahora, sustituimos estos valores en la fórmula de la razón de cambio promedio: \[ \text{Razón de cambio promedio} = \frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} = \frac{\sqrt{23} - 2}{1} = \sqrt{23} - 2 \] Por lo tanto, la razón de cambio promedio de \( f(x) = \sqrt{x^3 - 4} \) en el intervalo \( [2, 3] \) es: \[ \sqrt{23} - 2 \]