1. Verificar que la función \( y=2 \sqrt{x}-\sqrt{x} \). \( \ln x \) satisface la ecuación diferencial: \( 4 x^{2} y^{\prime \prime}+y=0 \) para todo \( x>0 \)

Para verificar si la función \( y=2 \sqrt{x}-\sqrt{x} \) satisface la ecuación diferencial \( 4 x^{2} y^{\prime \prime}+y=0 \) para todo \( x>0 \), primero necesitamos encontrar las derivadas de la función \( y \) hasta la segunda derivada. Dada la función \( y=2 \sqrt{x}-\sqrt{x} \), podemos encontrar las derivadas de la siguiente manera: 1. Primera derivada de \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}(2 \sqrt{x}-\sqrt{x}) \] 2. Segunda derivada de \( y \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(y') \] Vamos a calcular estas derivadas. Evaluate the derivative by following steps: - step0: Evaluate the derivative: \(\frac{d}{dx}\left(2\sqrt{x}-\sqrt{x}\right)\) - step1: Subtract the terms: \(\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\) - step2: Calculate: \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) - step3: Simplify: \(\frac{\sqrt{x}}{2x}\) La primera derivada de la función \( y=2 \sqrt{x}-\sqrt{x} \) es \( y' = \frac{\sqrt{x}}{2x} \). Ahora, vamos a calcular la segunda derivada de la función. Evaluate the derivative by following steps: - step0: Evaluate the derivative: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x}}{2x}\right)\) - step1: Use differentiation rules: \(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\times 2x-\sqrt{x}\times \frac{d}{dx}\left(2x\right)}{\left(2x\right)^{2}}\) - step2: Calculate: \(\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\times 2x-\sqrt{x}\times 2}{\left(2x\right)^{2}}\) - step3: Calculate: \(\frac{x^{\frac{1}{2}}-2\sqrt{x}}{4x^{2}}\) - step4: Calculate: \(\frac{-\sqrt{x}}{4x^{2}}\) - step5: Rewrite the expression: \(-\frac{\sqrt{x}}{4x^{2}}\) Para verificar si la función \( y=2 \sqrt{x}-\sqrt{x} \) satisface la ecuación diferencial \( 4 x^{2} y^{\prime \prime}+y=0 \) para todo \( x>0 \), sustituimos las derivadas en la ecuación diferencial y evaluamos si se cumple la igualdad. Sustituimos las derivadas en la ecuación diferencial: \[ 4 x^{2} \left(-\frac{\sqrt{x}}{4x^{2}}\right) + 2 \sqrt{x} - \sqrt{x} \] Simplificamos la expresión: \[ -\sqrt{x} + 2 \sqrt{x} - \sqrt{x} \] \[ 0 \] Como el resultado es 0, la función \( y=2 \sqrt{x}-\sqrt{x} \) satisface la ecuación diferencial \( 4 x^{2} y^{\prime \prime}+y=0 \) para todo \( x>0 \).