11) Sabe-se que \( 80 \% \) dos pênaltis marcadós a favor do Brasit săo cobrados port jogadores que jogam no Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido e de \( 40 \% \) se for um jogador do Flamengo e \( 70 \% \) caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou de ser marcado. a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido? b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido? c) O pênalti foi desperdiçado, qual a probabilidade do que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo?

Para resolver as questões, vamos usar a notação de probabilidade e o Teorema de Bayes. Definimos os eventos: - \( F \): o pênalti é cobrado por um jogador do Flamengo. - \( C \): o pênalti é convertido. As informações dadas são: - \( P(F) = 0,8 \) (80% dos pênaltis são cobrados por jogadores do Flamengo) - \( P(C|F) = 0,4 \) (probabilidade de conversão se o cobrador é do Flamengo) - \( P(C|F^c) = 0,7 \) (probabilidade de conversão se o cobrador não é do Flamengo, onde \( F^c \) é o complemento de \( F \)) ### a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido? Para encontrar \( P(F \cap C) \), usamos a regra do produto: \[ P(F \cap C) = P(F) \cdot P(C|F) \] Substituindo os valores: \[ P(F \cap C) = 0,8 \cdot 0,4 = 0,32 \] Portanto, a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser convertido é \( 0,32 \) ou \( 32\% \). ### b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido? Para encontrar \( P(C) \), usamos a Lei da Total Probabilidade: \[ P(C) = P(C|F) \cdot P(F) + P(C|F^c) \cdot P(F^c) \] Sabemos que \( P(F^c) = 1 - P(F) = 0,2 \). Agora substituímos: \[ P(C) = (0,4 \cdot 0,8) + (0,7 \cdot 0,2) \] Calculando cada parte: \[ P(C) = 0,32 + 0,14 = 0,46 \] Portanto, a probabilidade do pênalti ser convertido é \( 0,46 \) ou \( 46\% \). ### c) O pênalti foi desperdiçado, qual a probabilidade do que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo? Queremos encontrar \( P(F|C^c) \), onde \( C^c \) é o evento de que o pênalti não foi convertido. Usamos o Teorema de Bayes: \[ P(F|C^c) = \frac{P(C^c|F) \cdot P(F)}{P(C^c)} \] Primeiro, precisamos calcular \( P(C^c|F) \) e \( P(C^c) \): \[ P(C^c|F) = 1 - P(C|F) = 1 - 0,4 = 0,6 \] \[ P(C^c|F^c) = 1 - P(C|F^c) = 1 - 0,7 = 0,3 \] Agora, calculamos \( P(C^c) \): \[ P(C^c) = P(C^c|F) \cdot P(F) + P(C^c|F^c) \cdot P(F^c) \] Substituindo os valores: \[ P(C^c) = (0,6 \cdot 0,8) + (0,3 \cdot 0,2) = 0,48 + 0,06 = 0,54 \] Agora podemos calcular \( P(F|C^c) \): \[ P(F|C^c) = \frac{P(C^c|F) \cdot P(F)}{P(C^c)} = \frac{0,6 \cdot 0,8}{0,54} = \frac{0,48}{0,54} \approx 0,8889 \] Portanto, a probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo, dado que o pênalti foi desperdiçado, é aproximadamente \( 0,8889 \) ou \( 88,89\% \).