Encuentra la proyección vectorial de (1,2) hacia (3,4)

Para encontrar la proyección vectorial del vector \(\mathbf{a} = (1, 2)\) hacia el vector \(\mathbf{b} = (3, 4)\), utilizamos la fórmula de la proyección de un vector \(\mathbf{a}\) sobre otro vector \(\mathbf{b}\): \[ \text{Proy}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \mathbf{b} \] Primero, calculamos el producto punto \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(3) + (2)(4) = 3 + 8 = 11 \] Ahora, calculamos \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\): \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = (3)(3) + (4)(4) = 9 + 16 = 25 \] Ahora podemos sustituir estos valores en la fórmula de la proyección: \[ \text{Proy}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{11}{25} \mathbf{b} = \frac{11}{25} (3, 4) \] Multiplicamos el vector \(\mathbf{b}\) por \(\frac{11}{25}\): \[ \text{Proy}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{11 \cdot 3}{25}, \frac{11 \cdot 4}{25} \right) = \left( \frac{33}{25}, \frac{44}{25} \right) \] Por lo tanto, la proyección vectorial de \((1, 2)\) hacia \((3, 4)\) es: \[ \left( \frac{33}{25}, \frac{44}{25} \right) \]