6. Obtener la euvacion de la recta qué pasa por el punto \( P_{0}(1,0,1) \) y corta a lap rectan \( L_{1}=\{(-1,1,1)+t(2,0,1) / \epsilon \in R\} \) y \( z: x-y+z=1 \) : \( x+2 y-z=0 \)

Para obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto \( P_0(1, 0, 1) \) y corta a las rectas \( L_1 \) y el plano definido por las ecuaciones \( x - y + z = 1 \) y \( x + 2y - z = 0 \), seguiremos los siguientes pasos: ### Paso 1: Encontrar la dirección de la recta \( L_1 \) La recta \( L_1 \) está dada por: \[ L_1 = \{(-1, 1, 1) + t(2, 0, 1) \mid t \in \mathbb{R}\} \] Esto significa que un punto en \( L_1 \) se puede expresar como: \[ P(t) = (-1 + 2t, 1, 1 + t) \] ### Paso 2: Encontrar el punto de intersección entre \( L_1 \) y el plano Para encontrar el punto de intersección entre \( L_1 \) y el plano \( x - y + z = 1 \), sustituimos las coordenadas de \( P(t) \) en la ecuación del plano: \[ (-1 + 2t) - 1 + (1 + t) = 1 \] Simplificando: \[ -1 + 2t - 1 + 1 + t = 1 \] \[ 3t - 1 = 1 \] \[ 3t = 2 \implies t = \frac{2}{3} \] Ahora sustituimos \( t = \frac{2}{3} \) en \( P(t) \): \[ P\left(\frac{2}{3}\right) = \left(-1 + 2\left(\frac{2}{3}\right), 1, 1 + \frac{2}{3}\right) = \left(-1 + \frac{4}{3}, 1, \frac{5}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}, 1, \frac{5}{3}\right) \] ### Paso 3: Encontrar la dirección de la recta que pasa por \( P_0 \) y el punto de intersección Ahora tenemos el punto de intersección \( Q\left(\frac{1}{3}, 1, \frac{5}{3}\right) \) y el punto \( P_0(1, 0, 1) \). La dirección de la recta que pasa por estos dos puntos se puede encontrar restando las coordenadas: \[ \text{Dirección} = Q - P_0 = \left(\frac{1}{3} - 1, 1 - 0, \frac{5}{3} - 1\right) = \left(-\frac{2}{3}, 1, \frac{2}{3}\right) \] ### Paso 4: Escribir la ecuación de la recta La ecuación de la recta que pasa por \( P_0(1, 0, 1) \) y tiene la dirección \( \left(-\frac{2}{3}, 1, \frac{2}{3}\right) \) se puede escribir como: \[ R(t) = P_0 + t \cdot \text{Dirección} = (1, 0, 1) + t\left(-\frac{2}{3}, 1, \frac{2}{3}\right) \] Desglosando esto, tenemos: \[ R(t) = \left(1 - \frac{2}{3}t, 0 + t, 1 + \frac{2}{3}t\right) \] ### Resumen La ecuación de la recta que pasa por el punto \( P_0(1, 0, 1) \) y corta a la recta \( L_1 \) y al plano es: \[ R(t) = \left(1 - \frac{2}{3}t, t, 1 + \frac{2}{3}t\right) \] Donde \( t \in \mathbb{R} \).