Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por \( y=\sqrt{x}, y=2-x, 0 \leq x \leq 1 \) y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y=-1 \)

Para encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 2 - x \), y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y = -1 \), utilizaremos el método de discos o anillos. Primero, determinamos los puntos de intersección de las curvas \( y = \sqrt{x} \) y \( y = 2 - x \): \[ \sqrt{x} = 2 - x \] Elevamos al cuadrado ambos lados: \[ x = (2 - x)^2 \] Desarrollamos el lado derecho: \[ x = 4 - 4x + x^2 \] Reorganizamos la ecuación: \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] Factorizamos: \[ (x - 4)(x - 1) = 0 \] Por lo tanto, los puntos de intersección son \( x = 1 \) y \( x = 4 \). Sin embargo, dado que estamos limitados a \( 0 \leq x \leq 1 \), solo consideramos \( x = 1 \). Ahora, evaluamos las funciones en el intervalo \( [0, 1] \): - Para \( x = 0 \): \( y = \sqrt{0} = 0 \) y \( y = 2 - 0 = 2 \). - Para \( x = 1 \): \( y = \sqrt{1} = 1 \) y \( y = 2 - 1 = 1 \). La región que estamos rotando está limitada por \( y = \sqrt{x} \) y \( y = 2 - x \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \). ### Volumen usando el método de discos El volumen \( V \) se puede calcular usando la fórmula del volumen de un sólido de revolución: \[ V = \pi \int_a^b \left( R^2 - r^2 \right) \, dx \] donde \( R \) es la distancia desde la línea de rotación hasta la curva superior y \( r \) es la distancia desde la línea de rotación hasta la curva inferior. En este caso, la línea de rotación es \( y = -1 \). 1. **Curva superior**: \( y = 2 - x \) - La distancia desde \( y = -1 \) hasta \( y = 2 - x \) es: \[ R = (2 - x) - (-1) = 3 - x \] 2. **Curva inferior**: \( y = \sqrt{x} \) - La distancia desde \( y = -1 \) hasta \( y = \sqrt{x} \) es: \[ r = \sqrt{x} - (-1) = \sqrt{x} + 1 \] Por lo tanto, el volumen se calcula como: \[ V = \pi \int_0^1 \left( (3 - x)^2 - (\sqrt{x} + 1)^2 \right) \, dx \] Calculamos cada término: \[ (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2 \] \[ (\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 \] Ahora, restamos: \[ (3 - x)^2 - (\sqrt{x} + 1)^2 = (9 - 6x + x^2) - (x + 2\sqrt{x} + 1) \] Simplificamos: \[ = 9 - 6x + x^2 - x - 2\sqrt{x} - 1 \] \[ = 8 - 7x + x^2 - 2\sqrt{x} \] Ahora, integramos: \[ V = \pi \int_0^1 (8 - 7x + x^2 - 2\sqrt{x}) \, dx \] Calculamos cada integral: 1. \(\int_0^1 8 \, dx = 8\) 2. \(\int_0^1 7x \, dx = \frac{7}{2}\) 3. \(\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}\) 4. \(\int_0^1 2\sqrt{x} \, dx = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\