2. Sea \( A=\{a, b, c, d, e, f, g\} \). Es obligatorio \( c \) y escoge uno de los restantes, es decir, sólo contesta dos. Demuestra que a) \( R_{1}=\{(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(f, f),(g, g),(b, a),(a, b),(a, c),(c, a)\} \) es reflexiva y simétrica sobre \( A \), pero no es transitiva, explica con claridad. b) \( R_{2}=\{(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(f, f),(g, g),(b, a),(a, c),(b, c)\} \) es reflexiva y transitiva pero no simétrica. c) \( R_{3}=\{(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(f, f),(g, g),(a, b),(b, a),(c, d),(d, c),(e, f),(f, e)\} \) es de equivalen- cia.

Para analizar las relaciones \( R_1 \), \( R_2 \) y \( R_3 \) sobre el conjunto \( A = \{a, b, c, d, e, f, g\} \), vamos a verificar las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad. ### a) \( R_{1} \) **Definición de \( R_1 \)**: \[ R_{1}=\{(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(f, f),(g, g),(b, a),(a, b),(a, c),(c, a)\} \] **Reflexividad**: Una relación es reflexiva si para todo \( x \in A \), se cumple que \( (x, x) \in R \). En \( R_1 \), tenemos: - \( (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f), (g, g) \) están presentes. Por lo tanto, \( R_1 \) es reflexiva. **Simetría**: Una relación es simétrica si para todo \( (x, y) \in R \), se cumple que \( (y, x) \in R \). En \( R_1 \): - Para \( (b, a) \), está \( (a, b) \) presente. - Para \( (a, c) \), está \( (c, a) \) presente. - Todos los pares reflexivos también son simétricos. Por lo tanto, \( R_1 \) es simétrica. **Transitividad**: Una relación es transitiva si para todo \( (x, y) \in R \) y \( (y, z) \in R \), se cumple que \( (x, z) \in R \). Verificamos: - Tomemos \( (a, b) \) y \( (b, a) \): no hay un \( (a, a) \) que se derive de esto, pero eso no es un problema. - Sin embargo, tomemos \( (a, c) \) y \( (c, a) \): aquí, \( (a, a) \) está presente, pero no hay un par que derive de \( (b, a) \) y \( (a, c) \) que produzca \( (b, c) \) o \( (c, b) \). Por lo tanto, \( R_1 \) no es transitiva. ### b) \( R_{2} \) **Definición de \( R_2 \)**: \[ R_{2}=\{(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(f, f),(g, g),(b, a),(a, c),(b, c)\} \] **Reflexividad**: Similar a \( R_1 \), todos los elementos de \( A \) tienen su par reflexivo en \( R_2 \). Por lo tanto, \( R_2 \) es reflexiva. **Simetría**: Verificamos: - Para \( (b, a) \), no está \( (a, b) \) presente. - Para \( (a, c) \) y \( (b, c) \), no hay pares que sean simétricos. Por lo tanto, \( R_2 \) no es simétrica. **Transitividad**: Verificamos: - \( (b, a) \) y \( (a, c) \) implican que \( (b, c) \) está presente. - No hay otros pares que rompan la transitividad. Por lo tanto, \( R_2 \) es transitiva. ### c) \( R_{3} \) **Definición de \( R_3 \)**: \[ R_{3}=\{(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(f, f),(g, g),(a, b),(b, a),(c, d),(d, c),(e, f),(f, e)\} \] **Reflexividad**: Todos los elementos de \( A \) tienen su par reflexivo en \( R_3 \). Por lo tanto, \( R_3 \) es reflexiva. **Simetría**: Verificamos: - Para \( (a, b) \), está \( (b, a) \) presente. - Para \( (c, d) \), está \( (d, c) \) presente.