La función \( f(x) \) tiene límite cuando \( x \rightarrow a \) si: \( \left(\lim _{x \rightarrow a^{+}}\right) f(x) y\left(\begin{array}{l}\lim _{x \rightarrow a^{-}}\end{array}\right) f(x) \) no existen \( f(x) \) no está definida en \( x=a \) \( \left(\lim _{x \rightarrow a}\right) f(x)=0 \) \( \left(\lim _{x \rightarrow a^{+}}\right) f(x)=\left(\lim _{x \rightarrow a^{-}}\right) f(x) \)

La definición de límite de una función \( f(x) \) cuando \( x \) se aproxima a un valor \( a \) implica que los límites laterales deben ser iguales y que el límite debe existir. En este caso, la opción correcta es: \[ \left(\lim _{x \rightarrow a^{+}}\right) f(x) = \left(\lim _{x \rightarrow a^{-}}\right) f(x) \] Esto significa que el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) se aproxima a \( a \) desde la derecha (denotado como \( \lim_{x \to a^+} f(x) \)) debe ser igual al límite de \( f(x) \) cuando \( x \) se aproxima a \( a \) desde la izquierda (denotado como \( \lim_{x \to a^-} f(x) \)). Si ambos límites son iguales, entonces se dice que el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) se aproxima a \( a \) existe y se puede denotar como: \[ \lim_{x \to a} f(x) = L \] donde \( L \) es el valor al que ambos límites laterales convergen. Las otras opciones que mencionas no son correctas para la existencia del límite: - La existencia de los límites laterales es necesaria, no que no existan. - La función no necesita estar definida en \( x = a \) para que el límite exista. - El límite no tiene que ser necesariamente cero; puede ser cualquier número real o incluso infinito. Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente para que el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( a \) exista es que los límites laterales sean iguales.