\( x^{2}+y^{2}+10 x-8 y+30=0 \) encontrar c( )

Para resolver la ecuación \( x^{2}+y^{2}+10 x-8 y+30=0 \), primero reescribimos la ecuación agrupando los términos de \( x \) y \( y \): \[ x^{2} + 10x + y^{2} - 8y + 30 = 0 \] Ahora, completamos el cuadrado para los términos de \( x \) y \( y \). ### Completando el cuadrado para \( x \): 1. Tomamos los términos de \( x \): \( x^{2} + 10x \). 2. Para completar el cuadrado, tomamos la mitad del coeficiente de \( x \) (que es 10), lo elevamos al cuadrado y lo sumamos y restamos: \[ \left(\frac{10}{2}\right)^{2} = 25 \] 3. Entonces, podemos reescribir \( x^{2} + 10x \) como: \[ (x + 5)^{2} - 25 \] ### Completando el cuadrado para \( y \): 1. Tomamos los términos de \( y \): \( y^{2} - 8y \). 2. Para completar el cuadrado, tomamos la mitad del coeficiente de \( y \) (que es -8), lo elevamos al cuadrado y lo sumamos y restamos: \[ \left(\frac{-8}{2}\right)^{2} = 16 \] 3. Entonces, podemos reescribir \( y^{2} - 8y \) como: \[ (y - 4)^{2} - 16 \] ### Sustituyendo en la ecuación original: Sustituyendo los cuadrados completados en la ecuación original, tenemos: \[ ((x + 5)^{2} - 25) + ((y - 4)^{2} - 16) + 30 = 0 \] Simplificando: \[ (x + 5)^{2} + (y - 4)^{2} - 25 - 16 + 30 = 0 \] \[ (x + 5)^{2} + (y - 4)^{2} - 11 = 0 \] \[ (x + 5)^{2} + (y - 4)^{2} = 11 \] ### Interpretación: La ecuación \( (x + 5)^{2} + (y - 4)^{2} = 11 \) representa un círculo con: - Centro \( C(-5, 4) \) - Radio \( r = \sqrt{11} \) Por lo tanto, el centro \( C \) del círculo es: \[ C(-5, 4) \]