Una chef está preparando una receta en la que necesita \( 120 \mathrm{~cm}^{3} \) de zanahoria. La chef posee solo zanahorias cónicas, una de las cuales tiene un radio basal igual a 9 cm y una altura de 18 cm . Si a la zanahoria cónica se le hace un corte a la altura de 6 cm , ¿cuántos centímetros cúbicos de zanahoria le faltan para poder hacer la receta considerando que se conserva el cono truncado después del corte? (Considere \( \pi=3 \) ). A) \( 12 \mathrm{~cm}^{3} \) B) \( 34 \mathrm{~cm}^{3} \) C) \( 58 \mathrm{~cm}^{3} \) D) \( 66 \mathrm{~cm}^{3} \)

Para resolver el problema, primero necesitamos calcular el volumen total de la zanahoria cónica original y luego el volumen del cono truncado que queda después del corte. ### Paso 1: Calcular el volumen del cono original El volumen \( V \) de un cono se calcula con la fórmula: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] donde \( r \) es el radio y \( h \) es la altura. En este caso, el radio \( r = 9 \, \text{cm} \) y la altura \( h = 18 \, \text{cm} \). Sustituyendo los valores: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (9)^2 \cdot 18 \] Calculamos \( (9)^2 = 81 \): \[ V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 81 \cdot 18 \] Simplificamos: \[ V = 81 \cdot 6 = 486 \, \text{cm}^3 \] ### Paso 2: Calcular el volumen del cono que se corta El cono que se corta tiene una altura de \( 6 \, \text{cm} \). Para encontrar el radio de este cono cortado, utilizamos la relación de semejanza de triángulos. La altura total del cono original es \( 18 \, \text{cm} \) y el radio es \( 9 \, \text{cm} \). Por lo tanto, el radio \( r' \) del cono cortado se puede calcular como: \[ \frac{r'}{6} = \frac{9}{18} \implies r' = \frac{9}{18} \cdot 6 = 3 \, \text{cm} \] Ahora calculamos el volumen del cono cortado: \[ V' = \frac{1}{3} \pi (r')^2 h' = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3)^2 \cdot 6 \] Calculamos \( (3)^2 = 9 \): \[ V' = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9 \cdot 6 \] Simplificamos: \[ V' = 9 \cdot 2 = 18 \, \text{cm}^3 \] ### Paso 3: Calcular el volumen del cono truncado El volumen del cono truncado es el volumen del cono original menos el volumen del cono cortado: \[ V_{\text{truncado}} = V - V' = 486 \, \text{cm}^3 - 18 \, \text{cm}^3 = 468 \, \text{cm}^3 \] ### Paso 4: Calcular cuánto le falta a la chef La chef necesita \( 120 \, \text{cm}^3 \) de zanahoria. Ahora calculamos cuánto le falta: \[ \text{Falta} = 120 \, \text{cm}^3 - 468 \, \text{cm}^3 \] Dado que el volumen del cono truncado es mayor que lo que necesita, no le falta nada. Sin embargo, parece que el problema se refiere a cuánto volumen de zanahoria tiene en total después del corte. Por lo tanto, la chef tiene suficiente zanahoria y no le falta nada para la receta. Sin embargo, si consideramos que la pregunta se refiere a cuánto volumen de zanahoria le falta para alcanzar el volumen del cono original, entonces: \[ \text{Falta} = 486 \, \text{cm}^3 - 120 \, \text{cm}^3 = 366 \, \text{cm}^3 \] Pero como la pregunta se refiere a la cantidad que le falta para la receta, la respuesta correcta es que no le falta nada, ya que tiene más que suficiente. Por lo tanto, la respuesta correcta es que no le falta nada para la receta.