TAREA 2. Un proyecto prevé diversas acciones tendientes a un mejor ordenamiento ded transito en una ciudad con importante actividad turistica. Con los datos de una muestra de 200 turistas que visitaron la ciudad y un nivel de confianza de \( 95 \% \) se estimo la proporcion de visitartes que apoyan el proyecto mediante el intervalo de confianza \[ 1 C 0,95(p)=[0,658 ; 0,782] \] a) Calcule el margen de error del citado intervalo b) ¿Cuántos turistas respondieron que apoyan el proyecto? c) Manteniendo el nivel de confianza indicado, halle el tamaño de la muestra a seleccionar para se desea que la longitud del intervalo de confianza sea igual 0,08

Para resolver la tarea planteada, vamos a abordar cada inciso por separado. ### a) Calcule el margen de error del citado intervalo El margen de error (E) se puede calcular como la mitad de la longitud del intervalo de confianza. La longitud del intervalo se obtiene restando el límite inferior del límite superior. \[ E = \frac{Límite\ superior - Límite\ inferior}{2} \] Sustituyendo los valores del intervalo de confianza: \[ E = \frac{0,782 - 0,658}{2} = \frac{0,124}{2} = 0,062 \] Por lo tanto, el margen de error es \( E = 0,062 \). ### b) ¿Cuántos turistas respondieron que apoyan el proyecto? Para calcular el número de turistas que apoyan el proyecto, utilizamos la proporción estimada \( p \) que se puede obtener del intervalo de confianza. La proporción media se puede calcular como el promedio de los límites del intervalo: \[ p = \frac{0,658 + 0,782}{2} = \frac{1,440}{2} = 0,720 \] Ahora, multiplicamos esta proporción por el tamaño de la muestra (200 turistas) para encontrar el número de turistas que apoyan el proyecto: \[ n_{apoyo} = p \times n = 0,720 \times 200 = 144 \] Por lo tanto, aproximadamente 144 turistas respondieron que apoyan el proyecto. ### c) Manteniendo el nivel de confianza indicado, halle el tamaño de la muestra a seleccionar para que la longitud del intervalo de confianza sea igual a 0,08 La longitud del intervalo de confianza (L) está relacionada con el margen de error (E) de la siguiente manera: \[ L = 2E \] Si deseamos que la longitud del intervalo sea 0,08, entonces: \[ E = \frac{L}{2} = \frac{0,08}{2} = 0,04 \] Para calcular el tamaño de la muestra necesario, utilizamos la fórmula del margen de error para una proporción: \[ E = z \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \] Donde: - \( z \) es el valor crítico de la distribución normal para un nivel de confianza del 95% (aproximadamente 1,96). - \( p \) es la proporción estimada (usaremos \( p = 0,720 \)). - \( n \) es el tamaño de la muestra que queremos calcular. Reorganizando la fórmula para despejar \( n \): \[ n = \frac{z^2 \cdot p(1-p)}{E^2} \] Sustituyendo los valores: \[ n = \frac{(1,96)^2 \cdot 0,720 \cdot (1 - 0,720)}{(0,04)^2} \] Calculamos: \[ n = \frac{(1,96)^2 \cdot 0,720 \cdot 0,280}{0,0016} \] \[ n = \frac{3,8416 \cdot 0,720 \cdot 0,280}{0,0016} \] \[ n = \frac{0,612672}{0,0016} \approx 383,92 \] Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos hacia arriba: \[ n \approx 384 \] Por lo tanto, el tamaño de la muestra a seleccionar para que la longitud del intervalo de confianza sea igual a 0,08 es de aproximadamente 384 turistas.