Actividad Resolver las siguientes dexivados. 1) \( f(x)=\left(\frac{3}{5} x^{-1 / 4}+\frac{2 x}{\sqrt{x}}\right)^{2} \) 2) \( f(x)=-\frac{1}{5}\left(5 x^{-4}+2 x\right) \) 3) \( f(x)=\sqrt{100} \) 4) \( f(x)=\left(-\frac{1}{6} x^{3}-3 x^{-2}\right)\left(\sqrt{x}+3 x^{9}\right) \) 5) \( f(x)=2 x^{-1 / 2} \)

Vamos a resolver las derivadas de cada una de las funciones dadas. ### 1) \( f(x)=\left(\frac{3}{5} x^{-1 / 4}+\frac{2 x}{\sqrt{x}}\right)^{2} \) Primero simplificamos la función: \[ f(x) = \left(\frac{3}{5} x^{-1/4} + 2 x^{1/2}\right)^{2} \] Usamos la regla de la cadena y la regla del producto para derivar: \[ f'(x) = 2\left(\frac{3}{5} x^{-1/4} + 2 x^{1/2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{20} x^{-5/4} + x^{-1/2}\right) \] ### 2) \( f(x)=-\frac{1}{5}\left(5 x^{-4}+2 x\right) \) Simplificamos: \[ f(x) = -x^{-4} - \frac{2}{5} x \] Derivamos: \[ f'(x) = 4 x^{-5} - \frac{2}{5} \] ### 3) \( f(x)=\sqrt{100} \) Dado que \( \sqrt{100} = 10 \), la función es constante: \[ f'(x) = 0 \] ### 4) \( f(x)=\left(-\frac{1}{6} x^{3}-3 x^{-2}\right)\left(\sqrt{x}+3 x^{9}\right) \) Usamos la regla del producto: \[ u = -\frac{1}{6} x^{3} - 3 x^{-2}, \quad v = \sqrt{x} + 3 x^{9} \] Derivamos \( u \) y \( v \): \[ u' = -\frac{1}{2} x^{2} + 6 x^{-3} \] \[ v' = \frac{1}{2} x^{-1/2} + 27 x^{8} \] Aplicamos la regla del producto: \[ f'(x) = u'v + uv' \] ### 5) \( f(x)=2 x^{-1 / 2} \) Derivamos: \[ f'(x) = -x^{-3/2} \] ### Resumen de las derivadas: 1) \( f'(x) = 2\left(\frac{3}{5} x^{-1/4} + 2 x^{1/2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{20} x^{-5/4} + x^{-1/2}\right) \) 2) \( f'(x) = 4 x^{-5} - \frac{2}{5} \) 3) \( f'(x) = 0 \) 4) \( f'(x) = u'v + uv' \) (donde \( u' \) y \( v' \) se calcularon anteriormente) 5) \( f'(x) = -x^{-3/2} \)