Instrucciones. Observe cuidadosamente, identifique a qué tipo de función corresponde y determine el dominio para cada una de las siguientes funciones. 4) \( f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}} \)

### Solución Para determinar el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+3}} \), es necesario cumplir dos condiciones: 1. **Condición de la raíz cuadrada**: La expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser no negativa, es decir, mayor o igual a cero. 2. **Condición de la división**: El denominador no puede ser cero. #### 1. Condición de la raíz cuadrada La expresión dentro de la raíz cuadrada es \(\frac{x-1}{x+3}\). Para que esta expresión sea no negativa, debe cumplir con la siguiente condición: \[ \frac{x-1}{x+3} \geq 0 \] Para resolver esta desigualdad, se puede analizar el signo de la expresión \(\frac{x-1}{x+3}\) en diferentes intervalos. Los puntos críticos son \(x = 1\) y \(x = -3\), ya que estos son los puntos donde la expresión cambia de signo. - **Intervalo \( (-\infty, -3) \)**: En este intervalo, tanto \(x-1\) como \(x+3\) son negativos, por lo que \(\frac{x-1}{x+3}\) es positiva. - **Intervalo \( (-3, 1) \)**: En este intervalo, \(x-1\) es negativo y \(x+3\) es positivo, por lo que \(\frac{x-1}{x+3}\) es negativa. - **Intervalo \( (1, \infty) \)**: En este intervalo, tanto \(x-1\) como \(x+3\) son positivos, por lo que \(\frac{x-1}{x+3}\) es positiva. Por lo tanto, la expresión \(\frac{x-1}{x+3}\) es no negativa en los intervalos \( (-\infty, -3) \) y \( (1, \infty) \). #### 2. Condición de la división El denominador \(x+3\) no puede ser cero. Por lo tanto, se debe evitar el valor \(x = -3\). #### Conclusión El dominio de la función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+3}} \) es el conjunto de todos los valores de \(x\) que satisfacen las dos condiciones anteriores. Por lo tanto, el dominio es: \[ D = (-\infty, -3) \cup (1, \infty) \] ### Identificación de la función La función \( f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+3}} \) es una función racional, ya que se puede escribir como una fracción de dos funciones polinómicas. Además, la función es una función raíz, ya que contiene una raíz cuadrada en su expresión.