68. According to Quantcast analytics of CrossFit.com, \( 59 \% \) of CrossFitters have children. Suppose we take a random sample of 40 Crossfitters and find the sample proportion ( \( \widehat{p} \) ) that have children. We repeat this process many times. (a) What do you expect the mean of the \( \widehat{p} \) 's to be? (b) What do you expect the standard deviation of the \( \widehat{p} \) 's to be? (c) What do you expect the shape of the \( \widehat{p} \) 's to be?

c) \( \sin ^{2} x \cdot\left(1+\cot ^{2} x\right) \)

Lösen Sie folgende Gleichungen für \( x \in \mathbb{R} \); (a) \( \sqrt{x+1}-x=-1 \) (b) \( 35+4^{x}-3 \cdot 2^{2+x}=0 \) (c) \( 2^{x-1}=\left(7^{x}\right)^{2} \) (d) \( \log _{2}(\sqrt{x})+\ln \left(\frac{1}{x^{3}}\right)=\frac{1}{\ln (2)}-6 \)

Write the expression in the form \( a+b i \), where \( a \) and \( b \) are real numbers. (a) \( i^{59} \) (b) \( i^{-24} \) and

fully: \( \frac{x^{3}+2 x^{2}+4 x}{x^{3}-8}+\frac{2(x+2)}{(2-x)(2+x)} \)

Es sei \( \rho(x) \) eine Wahtrscheinlichkeitsdichtefunktion (WD), die im Intervall \( [0 ; 2] \) gegeben ist durch \( \rho(x)=N_{0}(1 /(x+1)-1 / 3) \) und Null auBerhalb des Intervalls, \[ \rho(x)=\left\{\begin{array}{ll}N_{0}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{8}\right) & \text { für } x \in[0,2], \\ 0 & \text { sonst. }\end{array}\right. \] Bestimmen Sie die Konstante \( N_{0} \), so dass \( \rho(x) \) korrekt normiert ist. Es sei \( \rho(x) \) eine weitere WD, die im Intervall \( [0 ; 1] \) gegeben ist durch \( \rho(x)=2 x \) und Null sonst. Berechen Sie die Varianz dieser WD.