Si \( f(x)=x \ln x \), entonces la razón de cambio de \( f^{\prime \prime}(x) \) (tercera derivada de \( f(x) \) ) es: Seleccione una: a. \( f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{1}{x} \) b. \( f^{\prime \prime \prime}(x)=1+\ln x \) a. \( f^{\prime \prime \prime}(x)=-\frac{1}{x^{0}} \) d. \( f^{\prime \prime}(x)=\ln x \)

Para encontrar la tercera derivada de la función \( f(x) = x \ln x \), primero calculamos las derivadas sucesivas. 1. **Primera derivada \( f'(x) \)**: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x) = \ln x + 1 \] (usando la regla del producto y la derivada de \( \ln x \)). 2. **Segunda derivada \( f''(x) \)**: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(\ln x + 1) = \frac{1}{x} \] 3. **Tercera derivada \( f'''(x) \)**: \[ f'''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \] Ahora, revisamos las opciones dadas: a. \( f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{1}{x} \) b. \( f^{\prime \prime \prime}(x)=1+\ln x \) c. \( f^{\prime \prime \prime}(x)=-\frac{1}{x^{0}} \) d. \( f^{\prime \prime}(x)=\ln x \) La opción correcta es que \( f^{\prime \prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2} \), que no está listada entre las opciones. Sin embargo, la opción c, que dice \( f^{\prime \prime \prime}(x)=-\frac{1}{x^{0}} \), es incorrecta porque \( -\frac{1}{x^{0}} = -1 \), lo cual no es correcto. Por lo tanto, ninguna de las opciones proporcionadas es correcta. La respuesta correcta es: \[ f^{\prime \prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2} \]