NOMBRE Y APELLIDO: \( \begin{array}{ll}\text { a) } \lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+3 x-4}{x^{2}+8 x+16} & \text { de } \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}-1} \\ \text { b) } \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{2 x}-2}{x-2} & \text { e) } \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{2 x-1}\right)^{\frac{1}{x-1}} \\ \text { c) } \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{4}+x^{2}+3 x}{x^{3}+2 x-1} & \end{array} \)

Claro, aquí tienes las soluciones a los problemas de cálculo límite: a) Para calcular \(\lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+3 x-4}{x^{2}+8 x+16}\), primero verificamos si la función está definida en \(x = -4\). La función está definida, por lo que podemos calcular el límite directamente sustituyendo \(x = -4\): \[ \lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+3 x-4}{x^{2}+8 x+16} = \frac{(-4)^{2}+3(-4)-4}{(-4)^{2}+8(-4)+16} = \frac{16-12-4}{16-32+16} = \frac{0}{0} \] Este es un caso indeterminado de tipo \(\frac{0}{0}\), por lo que aplicamos L'Hôpital: \[ \lim _{x \rightarrow-4} \frac{2x+3}{2x+8} = \frac{2(-4)+3}{2(-4)+8} = \frac{-8+3}{-8+8} = \frac{-5}{0} \] Este es otro caso indeterminado de tipo \(\frac{\infty}{\infty}\), por lo que aplicamos L'Hôpital de nuevo: \[ \lim _{x \rightarrow-4} \frac{2}{2} = 1 \] Por lo tanto, \(\lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+3 x-4}{x^{2}+8 x+16} = 1\). b) Para calcular \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}-1}\), podemos usar la regla de la raíz cuadrada para simplificar la expresión: \[ \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}-1} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1\right)} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1} \] Al tomar el límite, \(x\) se hace infinitamente grande, por lo que \(\frac{1}{x^{2}}\) se hace infinitamente pequeño y podemos usar el desarrollo de Taylor de \(\sqrt{1+u}\) para \(u\) muy pequeño: \[ \sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{u}{2} \] Entonces, \[ \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}-1} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{\frac{1}{2x^{2}}} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2x^{2}}{1} = -\infty \] Por lo tanto, \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}-1} = -\infty\). c) Para calcular \(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{2 x}-2}{x-2}\), podemos usar la regla de la raíz cuadrada para simplificar la expresión: \[ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{2 x}-2}{x-2} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{2 x}-2}{x-2} \cdot \frac{\sqrt{2 x}+2}{\sqrt{2 x}+2} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x-4}{(x-2)(\sqrt{2 x}+2)} \] Simplificamos la expresión: \[ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2(x-2)}{(x-2)(\sqrt{2 x}+2)} = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2}{\sqrt{2 x}+2} \] Sustituimos \(x = 2\): \[ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2}{\sqrt{2 x}+2} = \frac{2}{\sqrt{2 \cdot 2