2. Halle el resultado mediante los cocientes notables. a. \( \frac{1+a^{7}}{1+a} \) b. \( \frac{t^{9}-1}{t-1} \) c. \( \frac{16 p^{4}-81}{2 p+3} \) d. \( \frac{m^{8}-256}{m-2} \) e. \( \frac{k^{11}-1}{k-1} \)

Para resolver los problemas planteados, utilizaremos los cocientes notables y factorizaciones adecuadas. Vamos a resolver cada uno de los casos: ### a. \( \frac{1+a^{7}}{1+a} \) Podemos factorizar el numerador utilizando la identidad de la suma de potencias: \[ 1 + a^7 = (1 + a)(1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6) \] Por lo tanto, el cociente se simplifica a: \[ \frac{1 + a^7}{1 + a} = 1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 \] ### b. \( \frac{t^{9}-1}{t-1} \) Utilizamos la factorización de la diferencia de cuadrados y la fórmula de la suma de potencias: \[ t^9 - 1 = (t - 1)(t^8 + t^7 + t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1) \] Por lo tanto, el cociente se simplifica a: \[ \frac{t^9 - 1}{t - 1} = t^8 + t^7 + t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1 \] ### c. \( \frac{16 p^{4}-81}{2 p+3} \) Primero, factorizamos el numerador como una diferencia de cuadrados: \[ 16p^4 - 81 = (4p^2)^2 - 9^2 = (4p^2 - 9)(4p^2 + 9) \] Luego, factorizamos \(4p^2 - 9\) también como una diferencia de cuadrados: \[ 4p^2 - 9 = (2p - 3)(2p + 3) \] Por lo tanto, el numerador se convierte en: \[ 16p^4 - 81 = (2p - 3)(2p + 3)(4p^2 + 9) \] Ahora, el cociente se simplifica a: \[ \frac{(2p - 3)(2p + 3)(4p^2 + 9)}{2p + 3} = (2p - 3)(4p^2 + 9) \] ### d. \( \frac{m^{8}-256}{m-2} \) Primero, notamos que \(256 = 2^8\), así que podemos escribir: \[ m^8 - 256 = m^8 - 2^8 \] Esto es una diferencia de cuadrados: \[ m^8 - 2^8 = (m^4 - 16)(m^4 + 16) \] Luego, factorizamos \(m^4 - 16\) como una diferencia de cuadrados: \[ m^4 - 16 = (m^2 - 4)(m^2 + 4) = (m - 2)(m + 2)(m^2 + 4) \] Por lo tanto, el numerador se convierte en: \[ m^8 - 256 = (m - 2)(m + 2)(m^2 + 4)(m^4 + 16) \] El cociente se simplifica a: \[ \frac{(m - 2)(m + 2)(m^2 + 4)(m^4 + 16)}{m - 2} = (m + 2)(m^2 + 4)(m^4 + 16) \] ### e. \( \frac{k^{11}-1}{k-1} \) Utilizamos la fórmula de la suma de potencias: \[ k^{11} - 1 = (k - 1)(k^{10} + k^9 + k^8 + k^7 + k^6 + k^5 + k^4 + k^3 + k^2 + k + 1) \] Por lo tanto, el cociente se simplifica a: \[ \frac{k^{11} - 1}{k - 1} = k^{10} + k^9 + k^8 + k^7 + k^6 + k^5 + k^4 + k^3 + k^2 + k + 1 \] ### Resumen de resultados: a. \( 1 + a + a^2 + a^