1) Para las siguientes funciones calcular el dominio y las asíntotas, si existen. Justificar las ecuaciones de las asíntotas mediante el cálculo de los límites correspondientes. a) \( f(x)=\sqrt{\frac{8 x-24}{\frac{1}{2} x+5}} \)

Find the vertical asymptotes of \( f(x)=\sqrt{\frac{8x-24}{\frac{1}{2}x+5}} \). Function by following steps: - step0: Find the vertical asymptotes: \(f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2\left(8x-24\right)}{x+10}}\) - step1: Evaluate the limit: \(\lim _{x\rightarrow -10^{-}}\left(\sqrt{\frac{2\left(8x-24\right)}{x+10}}\right)\) - step2: Rewrite the expression: \(\sqrt{\lim _{x\rightarrow -10^{-}}\left(\frac{2\left(8x-24\right)}{x+10}\right)}\) - step3: Calculate: \(\sqrt{+\infty}\) - step4: Simplify the root: \(+\infty\) - step5: \(x=-10\) is a vertical asymptote\(:\) \(\begin{align}&x=-10\textrm{ }\textrm{is a vertical asymptote}\end{align}\) - step6: List all vertical asymptotes of the function: \(\begin{align}&x=-10\end{align}\) Find the horizontal asymptotes of \( f(x)=\sqrt{\frac{8x-24}{\frac{1}{2}x+5}} \). Function by following steps: - step0: Find the horizontal asymptotes: \(f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2\left(8x-24\right)}{x+10}}\) - step1: Evaluate the limits \(\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(f\left(x\right)\right)\) and \(\lim _{x\rightarrow -\infty}\left(f\left(x\right)\right):\) \(\begin{align}&\lim _{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{\frac{2\left(8x-24\right)}{x+10}}\right)\\&\lim _{x\rightarrow -\infty}\left(\sqrt{\frac{2\left(8x-24\right)}{x+10}}\right)\end{align}\) - step2: Calculate: \(\begin{align}&4\\&4\end{align}\) - step3: The finite values are horizontal asymptotes: \(\begin{align}&f\left(x\right)=4\end{align}\) Para la función \( f(x)=\sqrt{\frac{8x-24}{\frac{1}{2}x+5}} \): - El dominio de la función es \( x \neq -10 \) ya que el denominador no puede ser igual a cero. - La asíntota vertical es \( x=-10 \) ya que el límite de la función cuando \( x \) se acerca a -10 es infinito. - La asíntota horizontal es \( f(x)=4 \) ya que el límite de la función cuando \( x \) se acerca a infinito es 4.