4. Exprese el sistema en la forma \( A X=b \) y encuentre todas las soluciones al sistema no homogéneo dado encontrando primero una solución (si es posible) y después todas las soluciones al sistema homogéneo asociado. \[ \begin{array}{l}2 x+3 y+4 z=7 \\ 4 y=2+5 z \\ 4 x+6 y+8 z=14\end{array} \]

Para expresar el sistema de ecuaciones en la forma \( AX = b \), primero identificamos las variables y los coeficientes de cada ecuación. Las variables son \( x \), \( y \) y \( z \). El sistema de ecuaciones es: \[ \begin{array}{l} 2x + 3y + 4z = 7 \quad (1) \\ 0x + 4y - 5z = 2 \quad (2) \\ 4x + 6y + 8z = 14 \quad (3) \end{array} \] Observamos que la tercera ecuación es un múltiplo de la primera (multiplicando la primera por 2 se obtiene la tercera). Por lo tanto, podemos eliminar la tercera ecuación y trabajar con las dos primeras. Ahora, escribimos el sistema en la forma \( AX = b \): \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \end{bmatrix} \] Donde: \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & -5 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \end{bmatrix} \] ### Encontrar una solución particular Para encontrar una solución particular, podemos resolver el sistema de ecuaciones. Empezamos con la segunda ecuación: \[ 4y - 5z = 2 \implies 4y = 2 + 5z \implies y = \frac{1}{2} + \frac{5}{4}z \] Sustituyendo \( y \) en la primera ecuación: \[ 2x + 3\left(\frac{1}{2} + \frac{5}{4}z\right) + 4z = 7 \] Simplificamos: \[ 2x + \frac{3}{2} + \frac{15}{4}z + 4z = 7 \] Multiplicamos todo por 4 para eliminar los denominadores: \[ 8x + 6 + 15z + 16z = 28 \] \[ 8x + 31z = 22 \implies 8x = 22 - 31z \implies x = \frac{22 - 31z}{8} \] Ahora tenemos: \[ x = \frac{22 - 31z}{8}, \quad y = \frac{1}{2} + \frac{5}{4}z \] ### Solución general La solución general se puede expresar en términos de \( z \): \[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{22}{8} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} -\frac{31}{8} \\ \frac{5}{4} \\ 1 \end{bmatrix} \] Donde \( z \) es un parámetro libre. ### Sistema homogéneo asociado El sistema homogéneo asociado se obtiene al igualar \( b \) a cero: \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \] Resolviendo este sistema, la segunda ecuación se convierte en: \[ 4y - 5z = 0 \implies y = \frac{5}{4}z \] Sustituyendo en la primera ecuación: \[ 2x + 3\left(\frac{5}{4}z\right) + 4z = 0 \] Multiplicamos por 4: \[ 8x + 15z + 16z = 0 \implies 8x + 31z = 0 \implies x = -\frac{31}{8}z \] Por lo tanto, la solución general del sistema homogéneo es: \[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = z \begin{bmatrix} -\frac{31}{8} \\ \frac{5}{4} \\ 1 \end{bmatrix} \] ### Resumen La solución particular del sistema no homogéneo es: \[ \begin{bmatrix} \frac{22 - 31z}{8} \\ \frac{1}{2} + \frac{5}{4}z \\ z \end{bmatrix} \] Y la solución general del sistema homogéneo asociado es: \[ \begin{bmatrix} -\frac{31}{8}z \\ \frac{5}{4}z \\ z \end{bmatrix} \] donde \( z \) es un parámetro libre.