Hallar a1, el término general y la suma de los 30 primeros terminos de la sucesión aritmética tal que a5=7 a \( 8=22 \)

Para resolver el problema, primero recordemos que en una sucesión aritmética, el término general se puede expresar como: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] donde \( a_1 \) es el primer término, \( d \) es la diferencia común y \( n \) es el número del término. Dado que tenemos los términos \( a_5 \) y \( a_8 \), podemos escribir las siguientes ecuaciones: 1. Para \( a_5 = 7 \): \[ a_5 = a_1 + 4d = 7 \quad (1) \] 2. Para \( a_8 = 22 \): \[ a_8 = a_1 + 7d = 22 \quad (2) \] Ahora, restamos la ecuación (1) de la ecuación (2): \[ (a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 22 - 7 \] Esto simplifica a: \[ 3d = 15 \] De aquí, podemos encontrar \( d \): \[ d = \frac{15}{3} = 5 \] Ahora que tenemos \( d \), sustituimos este valor en la ecuación (1) para encontrar \( a_1 \): \[ a_1 + 4(5) = 7 \] \[ a_1 + 20 = 7 \] \[ a_1 = 7 - 20 = -13 \] Ahora tenemos: - \( a_1 = -13 \) - \( d = 5 \) El término general de la sucesión aritmética es: \[ a_n = -13 + (n-1) \cdot 5 \] Para encontrar la suma de los 30 primeros términos, utilizamos la fórmula de la suma de los primeros \( n \) términos de una sucesión aritmética: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \] Primero, necesitamos encontrar \( a_{30} \): \[ a_{30} = -13 + (30-1) \cdot 5 \] \[ a_{30} = -13 + 29 \cdot 5 \] \[ a_{30} = -13 + 145 = 132 \] Ahora podemos calcular la suma de los 30 primeros términos: \[ S_{30} = \frac{30}{2} (-13 + 132) \] \[ S_{30} = 15 \cdot 119 = 1785 \] Por lo tanto, los resultados son: - \( a_1 = -13 \) - Término general: \( a_n = -13 + (n-1) \cdot 5 \) - Suma de los 30 primeros términos: \( S_{30} = 1785 \)