Modelamiento matemático Suponga que se le solicita un estudio cuyo objetivo es la determinación de los ángulos de enlace \( H-C-H \) de la molécula antes mencionada. Se cuenta con los siguientes datos: Colocando a la molécula en el plano octante, los hidrógenos están ubicados en las coordenadas \( (0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1) \) y el átomo de carbono se ubica en la coordenada \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \). Determine lo siguiente con apoyo de Geogebra 1. Grafique cada átomo en Geogebra haciendo la simbología correspondiente a cada átomo partícipe en la molécula. 2. Forme los vectores \( \overrightarrow{C-H} \) de la molécula tomando como punto inicial al átomo de carbono. 3. Demostrar por métodos vectoriales y de forma gráfica (usando Geogebra) que los ángulos de enlace \( H-C-H \) es de \( \approx 109.5^{\circ} \). 4. Hallar dos vectores unitarios ortogonales utilizando los datos del inciso anterior. 5. Determine el volumen del tetraedro generado con estos puntos.

Para resolver este problema, primero necesitamos graficar cada átomo en Geogebra y luego calcular los vectores \( \overrightarrow{C-H} \) de la molécula. Luego, demostraremos que los ángulos de enlace \( H-C-H \) son de aproximadamente \( 109.5^{\circ} \) utilizando métodos vectoriales y gráficos. Finalmente, hallaremos dos vectores unitarios ortogonales y calcular el volumen del tetraedro generado con estos puntos. 1. **Graficar cada átomo en Geogebra:** - El átomo de carbono se encuentra en la coordenada \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \). - Los hidrógenos se encuentran en las coordenadas \( (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,0,1) \). 2. **Formar los vectores \( \overrightarrow{C-H} \):** - Tomando como punto inicial al átomo de carbono, calculamos los vectores \( \overrightarrow{C-H} \) para cada hidrógeno. 3. **Demostrar que los ángulos de enlace \( H-C-H \) son de aproximadamente \( 109.5^{\circ} \):** - Utilizamos métodos vectoriales y gráficos para demostrar que los ángulos de enlace son de aproximadamente \( 109.5^{\circ} \). 4. **Hallar dos vectores unitarios ortogonales:** - Utilizamos los datos del inciso anterior para encontrar dos vectores unitarios ortogonales. 5. **Calcular el volumen del tetraedro generado:** - Utilizamos los puntos encontrados para calcular el volumen del tetraedro generado. Vamos a proceder con cada uno de estos pasos utilizando Geogebra.