Bowman Moran
05/21/2023 · High School
b) Completando el cuadrado. \( 3 x^{2}-6 x-5=0 \)
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Step-by-step Solution
Para completar el cuadrado en la ecuación \( 3x^2 - 6x - 5 = 0 \), seguimos estos pasos:
1. **Factorizar el coeficiente de \( x^2 \)**: Primero, sacamos el factor común de 3 de los términos que contienen \( x \):
\[
3(x^2 - 2x) - 5 = 0
\]
2. **Mover el término constante al otro lado**:
\[
3(x^2 - 2x) = 5
\]
3. **Completar el cuadrado**: Para completar el cuadrado dentro del paréntesis, tomamos el coeficiente de \( x \) (que es -2), lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado:
\[
\left(-\frac{2}{2}\right)^2 = 1
\]
Ahora, sumamos y restamos 1 dentro del paréntesis:
\[
3(x^2 - 2x + 1 - 1) = 5
\]
Esto se puede reescribir como:
\[
3((x - 1)^2 - 1) = 5
\]
4. **Simplificar**:
\[
3(x - 1)^2 - 3 = 5
\]
Sumamos 3 a ambos lados:
\[
3(x - 1)^2 = 8
\]
5. **Dividir por 3**:
\[
(x - 1)^2 = \frac{8}{3}
\]
6. **Tomar la raíz cuadrada**:
\[
x - 1 = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}
\]
Simplificando la raíz:
\[
x - 1 = \pm \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}
\]
7. **Despejar \( x \)**:
\[
x = 1 \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}
\]
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación \( 3x^2 - 6x - 5 = 0 \) son:
\[
x = 1 + \frac{2\sqrt{6}}{3} \quad \text{y} \quad x = 1 - \frac{2\sqrt{6}}{3}
\]
Quick Answer
Las soluciones de la ecuación \( 3x^2 - 6x - 5 = 0 \) son \( x = 1 + \frac{2\sqrt{6}}{3} \) y \( x = 1 - \frac{2\sqrt{6}}{3} \).
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