Un triangolo rettangolo ha l'area di \( 121,50 \mathrm{~cm}^{2} \) e un cateto lungo 18 cm . Calcola la lunghezza dell'altezza relativa all'ipotenusa e delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. \( [10,8 \mathrm{~cm} ; 14,4 \mathrm{~cm} ; 8,1 \mathrm{~cm}] \)

Per risolvere il problema, iniziamo a calcolare l'altro cateto del triangolo rettangolo. Sappiamo che l'area \( A \) di un triangolo rettangolo è data dalla formula: \[ A = \frac{1}{2} \cdot \text{cateto}_1 \cdot \text{cateto}_2 \] In questo caso, uno dei cateti è lungo \( 18 \, \text{cm} \) e l'area è \( 121,50 \, \text{cm}^2 \). Possiamo usare questa informazione per trovare l'altro cateto: \[ 121,50 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \text{cateto}_2 \] Moltiplichiamo entrambi i lati per \( 2 \): \[ 243 = 18 \cdot \text{cateto}_2 \] Ora dividiamo entrambi i lati per \( 18 \): \[ \text{cateto}_2 = \frac{243}{18} = 13,5 \, \text{cm} \] Ora abbiamo i due cateti del triangolo rettangolo: \( 18 \, \text{cm} \) e \( 13,5 \, \text{cm} \). ### Calcolo dell'ipotenusa Possiamo calcolare l'ipotenusa \( c \) usando il teorema di Pitagora: \[ c = \sqrt{(18)^2 + (13,5)^2} \] Calcoliamo i quadrati: \[ (18)^2 = 324 \] \[ (13,5)^2 = 182,25 \] Sommiamo i risultati: \[ c = \sqrt{324 + 182,25} = \sqrt{506,25} = 22,5 \, \text{cm} \] ### Calcolo dell'altezza relativa all'ipotenusa L'altezza \( h \) relativa all'ipotenusa può essere calcolata usando la formula dell'area: \[ A = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza} \] In questo caso, la base è l'ipotenusa \( c \): \[ 121,50 = \frac{1}{2} \cdot 22,5 \cdot h \] Moltiplichiamo entrambi i lati per \( 2 \): \[ 243 = 22,5 \cdot h \] Dividiamo entrambi i lati per \( 22,5 \): \[ h = \frac{243}{22,5} = 10,8 \, \text{cm} \] ### Calcolo delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa Le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa possono essere calcolate usando le formule: \[ p_1 = \frac{a^2}{c} \quad \text{e} \quad p_2 = \frac{b^2}{c} \] dove \( a = 18 \, \text{cm} \), \( b = 13,5 \, \text{cm} \) e \( c = 22,5 \, \text{cm} \). Calcoliamo \( p_1 \): \[ p_1 = \frac{(18)^2}{22,5} = \frac{324}{22,5} = 14,4 \, \text{cm} \] Calcoliamo \( p_2 \): \[ p_2 = \frac{(13,5)^2}{22,5} = \frac{182,25}{22,5} = 8,1 \, \text{cm} \] ### Risultati finali - Altezza relativa all'ipotenusa: \( 10,8 \, \text{cm} \) - Proiezione del cateto di \( 18 \, \text{cm} \) sull'ipotenusa: \( 14,4 \, \text{cm} \) - Proiezione del cateto di \( 13,5 \, \text{cm} \) sull'ipotenusa: \( 8,1 \, \text{cm} \) Quindi, i risultati sono: \[ \text{Altezza: } 10,8 \, \text{cm}, \quad \text{Proiezione cateto 1: } 14,4 \, \text{cm}, \quad \