Soit la matrice \( A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right) \). 1. Vérifier que \( A^{2}=A+2 I \). En déduire que \( A \) est inversible et déterminer son inverse. 2. Montrer que pour tout \( n \in N \), il existe deux réls \( u_{n} \) et \( v_{n} \) tels que \( A^{n}=u_{n} A+v_{n} I \). On préciscra les relations de récurrence entre \( u_{n+1}, v_{n+1} \) et \( u_{n}, v_{n} \). 3. On pose \( \alpha_{n}=2 u_{n}+v_{n} \) et \( \beta_{n}=u_{n}-v_{n} \). Reconnaitre les suites \( \alpha \) et \( \beta \) En déduire, pour tout \( n \in N, u_{n} \) et \( v_{n} \), puis \( A^{n} \) en fonction de \( n \).

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape. ### 1. Vérification de \( A^2 = A + 2I \) Calculons \( A^2 \): \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Calculons chaque élément de \( A^2 \): - Première ligne : - \( (0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 2 \) - \( (0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1) = 1 \) - \( (0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = 1 \) - Deuxième ligne : - \( (1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 2 \) - \( (1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1) = 2 \) - \( (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = 1 \) - Troisième ligne : - \( (1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1) = 2 \) - \( (1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1) = 1 \) - \( (1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0) = 2 \) Ainsi, nous avons : \[ A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Calculons \( A + 2I \): \[ A + 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Nous avons donc \( A^2 = A + 2I \). Pour montrer que \( A \) est inversible, nous pouvons utiliser la relation trouvée. En réarrangeant, nous avons : \[ A^2 - A - 2I = 0 \] Cela signifie que \( A \) satisfait le polynôme caractéristique \( x^2 - x - 2 = 0 \), dont les racines sont \( x = 2 \) et \( x = -1 \). Comme \( A \) a une racine non nulle, il est inversible. Pour déterminer l'inverse de \( A \), nous pouvons utiliser la relation \( A^2 = A + 2I \) : \[ A^2 - A - 2I = 0 \implies A^2 = A + 2I \implies A(A - I) = 2I \] En multipliant par \( \frac{1}{2} \), nous obtenons : \[ \frac{1}{2} A(A - I) = I \] Ainsi, l'inverse de \( A \) est donné par : \[ A^{-1} = \frac{1}{2}(A - I) \] ### 2. Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( A^n = u_n A + v_n I \) Nous allons utiliser la relation de récurrence. Nous savons que : \[ A^2 = A + 2I \] Posons \( A^n = u_n A + v_n I \). Pour \( n = 1 \), nous avons : \[ A^1 = 1 \cdot A +