Una corredora de propiedades tiene varios departamentos para arrendar. Si el valor de arriendo es de 650 mil pesos mensuales, se arriendan los 60 departamentos que tiene disponoble. Si el valor del arriendo sube en 10 mil pesos mensuales, la cantidad de departamentos arrendados baja en 2 departamentos. Determine los ingresos totales para un valor de arriendo \( x \). Cuál es el valor de arriendo que permite maximizar los ingresos.

Para resolver el problema, primero definimos el ingreso total en función del valor de arriendo \( x \). 1. **Definición de variables**: - Sea \( x \) el valor de arriendo en pesos. - Cuando \( x = 650,000 \), se arriendan 60 departamentos. - Si el valor de arriendo aumenta en 10,000 pesos, se arriendan 2 departamentos menos. 2. **Relación entre el valor de arriendo y la cantidad de departamentos arrendados**: - Si \( x = 650,000 + 10,000k \) (donde \( k \) es el número de aumentos de 10,000), entonces la cantidad de departamentos arrendados se puede expresar como: \[ \text{Cantidad de departamentos arrendados} = 60 - 2k \] 3. **Ingreso total**: - El ingreso total \( I \) se puede expresar como: \[ I = (\text{Valor de arriendo}) \times (\text{Cantidad de departamentos arrendados}) = x \cdot (60 - 2k) \] - Sustituyendo \( x \): \[ I = (650,000 + 10,000k)(60 - 2k) \] 4. **Expansión de la ecuación**: - Expandimos la ecuación: \[ I = (650,000 \cdot 60) + (650,000 \cdot -2k) + (10,000k \cdot 60) + (10,000k \cdot -2k \] \[ I = 39,000,000 - 1,300,000k + 600,000k - 20,000k^2 \] \[ I = 39,000,000 - 700,000k - 20,000k^2 \] 5. **Forma cuadrática**: - La ecuación del ingreso total es una parábola que abre hacia abajo (ya que el coeficiente de \( k^2 \) es negativo). La forma general es: \[ I = -20,000k^2 - 700,000k + 39,000,000 \] 6. **Máximo ingreso**: - Para encontrar el valor de \( k \) que maximiza \( I \), usamos la fórmula del vértice de una parábola \( k = -\frac{b}{2a} \): \[ k = -\frac{-700,000}{2 \cdot -20,000} = \frac{700,000}{40,000} = 17.5 \] 7. **Valor de arriendo que maximiza los ingresos**: - Sustituyendo \( k = 17.5 \) en la ecuación de \( x \): \[ x = 650,000 + 10,000 \cdot 17.5 = 650,000 + 175,000 = 825,000 \] Por lo tanto, el valor de arriendo que permite maximizar los ingresos es **825,000 pesos mensuales**.