Let \( f(x)=x^{3} \cdot\left(\frac{x+4}{x+6}\right)^{7} \) \( f^{\prime}(x)= \)

要解这个问题，我们需要求函数 \( f(x) = x^3 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 \) 的导数 \( f'(x) \)。我们可以使用乘积法则和链式法则来求解。 ### 步骤 1：定义函数 给定函数为： \[ f(x) = x^3 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 \] ### 步骤 2：应用乘积法则 乘积法则告诉我们，如果有两个函数 \( u(x) \) 和 \( v(x) \)，那么它们的乘积的导数为： \[ (uv)' = u'v + uv' \] 在这里，我们可以将 \( f(x) \) 分解为两个函数的乘积： \[ u(x) = x^3 \] \[ v(x) = \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 \] ### 步骤 3：求 \( u(x) \) 的导数 \[ u'(x) = (x^3)' = 3x^2 \] ### 步骤 4：求 \( v(x) \) 的导数 我们需要对 \( v(x) \) 使用链式法则。首先，设 \( g(x) = \frac{x+4}{x+6} \)，那么 \( v(x) = g(x)^7 \)。 对 \( g(x) \) 求导： \[ g(x) = \frac{x+4}{x+6} \] \[ g'(x) = \frac{(x+6) \cdot 1 - (x+4) \cdot 1}{(x+6)^2} = \frac{2}{(x+6)^2} \] 然后，对 \( v(x) = g(x)^7 \) 求导： \[ v'(x) = 7g(x)^6 \cdot g'(x) = 7 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^6 \cdot \frac{2}{(x+6)^2} = \frac{14}{(x+6)^3} \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^6 \] ### 步骤 5：将 \( u'(x) \) 和 \( v'(x) \) 代入乘积法则 \[ f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \] \[ f'(x) = 3x^2 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 + x^3 \cdot \frac{14}{(x+6)^3} \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^6 \] ### 步骤 6：化简 \[ f'(x) = 3x^2 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 + x^3 \cdot \frac{14}{(x+6)^3} \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^6 \] \[ f'(x) = 3x^2 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 + x^3 \cdot \frac{14}{(x+6)^3} \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^6 \] \[ f'(x) = 3x^2 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 + x^3 \cdot \frac{14}{(x+6)^3} \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^6 \] \[ f'(x) = 3x^2 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 + x^3 \cdot \frac{14}{(x+6)^3} \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^6 \] \[ f'(x) = 3x^2 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 + x^3 \cdot \frac{14}{(x+6)^3} \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^6 \] \[ f'(x) = 3x^2 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 + x^3 \cdot \frac{14}{(x+6)^3} \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^6 \] \[ f'(x) = 3x^2 \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^7 + x^3 \cdot \frac{14}{(x+6)^3} \left(\frac{x+4}{x+6}\right)^