(a) ¿Cuál es el gráfico de \( f(x)=\frac{3}{x^{2}-x-2} \) ?

Para graficar la función \( f(x) = \frac{3}{x^2 - x - 2} \), primero debemos analizar la función y sus características. 1. **Identificar el denominador**: La función tiene un denominador que es un polinomio cuadrático. Primero, factorizamos el denominador: \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \] Esto nos indica que la función tiene dos puntos donde el denominador se anula, es decir, donde la función no está definida. Estos puntos son \( x = 2 \) y \( x = -1 \). 2. **Dominio**: El dominio de la función son todos los números reales excepto \( x = 2 \) y \( x = -1 \): \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\} \] 3. **Asintotas verticales**: Dado que la función no está definida en \( x = -1 \) y \( x = 2 \), hay asintotas verticales en estos puntos. 4. **Asintotas horizontales**: Para encontrar las asintotas horizontales, observamos el comportamiento de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( \infty \) o \( -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \] Por lo tanto, hay una asintota horizontal en \( y = 0 \). 5. **Intersecciones**: Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = \frac{3}{0^2 - 0 - 2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \] La intersección con el eje \( y \) es \( (0, -\frac{3}{2}) \). 6. **Comportamiento en intervalos**: Analizamos el signo de \( f(x) \) en los intervalos determinados por las asintotas verticales: - Para \( x < -1 \): \( f(x) > 0 \) - Para \( -1 < x < 2 \): \( f(x) < 0 \) - Para \( x > 2 \): \( f(x) > 0 \) 7. **Gráfico**: Con toda esta información, podemos esbozar el gráfico de la función. Tendremos: - Asintotas verticales en \( x = -1 \) y \( x = 2 \). - Asintota horizontal en \( y = 0 \). - La función se comporta de manera positiva en los intervalos \( (-\infty, -1) \) y \( (2, \infty) \), y negativa en \( (-1, 2) \). - La intersección con el eje \( y \) en \( (0, -\frac{3}{2}) \). El gráfico se verá como dos ramas, una en el cuadrante I y otra en el cuadrante III, con las asintotas verticales y horizontal mencionadas.