Marsh Daniels
08/05/2024 · Middle School
в) \( \frac{x^{4}-8 x^{3}+16 x^{2}}{x^{2}-6 x+5} \geqslant 0 \)
UpStudy ThothAI Solution
Tutor-Verified Answer
Step-by-step Solution
Для решения неравенства
\[
\frac{x^{4}-8 x^{3}+16 x^{2}}{x^{2}-6 x+5} \geqslant 0
\]
начнем с упрощения числителя и знаменателя.
### Шаг 1: Упрощение числителя
Числитель можно представить как:
\[
x^{4} - 8x^{3} + 16x^{2} = x^{2}(x^{2} - 8x + 16) = x^{2}(x - 4)^{2}
\]
### Шаг 2: Упрощение знаменателя
Знаменатель можно разложить на множители:
\[
x^{2} - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)
\]
### Шаг 3: Переписывание неравенства
Теперь подставим упрощенные выражения в неравенство:
\[
\frac{x^{2}(x - 4)^{2}}{(x - 1)(x - 5)} \geqslant 0
\]
### Шаг 4: Определение знаков
Теперь определим, при каких значениях \(x\) дробь будет неотрицательной. Для этого рассмотрим нули числителя и знаменателя:
- Нули числителя: \(x^{2} = 0\) (то есть \(x = 0\)) и \((x - 4)^{2} = 0\) (то есть \(x = 4\)).
- Нули знаменателя: \(x - 1 = 0\) (то есть \(x = 1\)) и \(x - 5 = 0\) (то есть \(x = 5\)).
### Шаг 5: Построение числовой прямой
Рассмотрим критические точки: \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = 4\), \(x = 5\). Разделим числовую прямую на интервалы:
1. \( (-\infty, 0) \)
2. \( (0, 1) \)
3. \( (1, 4) \)
4. \( (4, 5) \)
5. \( (5, +\infty) \)
### Шаг 6: Определение знаков на интервалах
Теперь проверим знак дроби на каждом интервале:
1. **Интервал \( (-\infty, 0) \)**:
- \(x^2 > 0\), \((x - 4)^2 > 0\), \((x - 1) < 0\), \((x - 5) < 0\)
- Знак: \( \frac{+}{-} = - \)
2. **Интервал \( (0, 1) \)**:
- \(x^2 > 0\), \((x - 4)^2 > 0\), \((x - 1) < 0\), \((x - 5) < 0\)
- Знак: \( \frac{+}{-} = - \)
3. **Интервал \( (1, 4) \)**:
- \(x^2 > 0\), \((x - 4)^2 > 0\), \((x - 1) > 0\), \((x - 5) < 0\)
- Знак: \( \frac{+}{-} = - \)
4. **Интервал \( (4, 5) \)**:
- \(x^2 > 0\), \((x - 4)^2 = 0\), \((x - 1) > 0\), \((x - 5) < 0\)
- Знак: \( \frac{0}{-} = 0 \)
5. **Интервал \( (5, +\infty) \)**:
- \(x^2 > 0\), \((x - 4)^2 > 0\), \((x - 1) > 0\), \((x - 5) > 0\)
- Знак: \( \frac{+}{+} = + \)
### Шаг 7: Итоговые значения
Теперь подведем итоги:
- На интервалах \( (-\infty, 0)
Quick Answer
Решение неравенства \( \frac{x^{4}-8 x^{3}+16 x^{2}}{x^{2}-6 x+5} \geqslant 0 \) включает интервалы \( (-\infty, 0] \), \( [1, 4] \), и \( [5, +\infty) \).
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
UpStudy ThothAI
Self-Developed and Ever-Improving
Thoth AI product is constantly being upgraded and optimized.
Covers All Major Subjects
Capable of handling homework in math, chemistry, biology, physics, and more.
Instant and Accurate
Provides immediate and precise solutions and guidance.
Try Now
Ask Tutors
Ask AI
10x
Fastest way to Get Answers & Solutions
By text
Enter your question here…
By image
Re-Upload
Submit