Ramos Bowers
06/24/2024 · Middle School
Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por \( y=\sqrt{x}, y=2-x, 0 \leq x \leq 1 \) y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y=-1 \)
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Step-by-step Solution
Para encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 2 - x \), y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y = -1 \), utilizaremos el método de discos o anillos.
Primero, determinamos los puntos de intersección de las curvas \( y = \sqrt{x} \) y \( y = 2 - x \):
\[
\sqrt{x} = 2 - x
\]
Elevamos al cuadrado ambos lados:
\[
x = (2 - x)^2
\]
Desarrollamos el lado derecho:
\[
x = 4 - 4x + x^2
\]
Reorganizamos la ecuación:
\[
x^2 - 5x + 4 = 0
\]
Factorizamos:
\[
(x - 4)(x - 1) = 0
\]
Por lo tanto, los puntos de intersección son \( x = 1 \) y \( x = 4 \). Sin embargo, dado que estamos limitados a \( 0 \leq x \leq 1 \), solo consideramos \( x = 1 \).
Ahora, evaluamos las funciones en el intervalo \( [0, 1] \):
- Para \( x = 0 \): \( y = \sqrt{0} = 0 \) y \( y = 2 - 0 = 2 \).
- Para \( x = 1 \): \( y = \sqrt{1} = 1 \) y \( y = 2 - 1 = 1 \).
La región que estamos rotando está limitada por \( y = \sqrt{x} \) y \( y = 2 - x \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \).
### Método de Anillos
El volumen \( V \) del sólido de revolución se puede calcular usando la fórmula de anillos:
\[
V = \pi \int_a^b \left( R^2 - r^2 \right) \, dx
\]
donde \( R \) es la distancia desde el eje de rotación hasta la curva superior y \( r \) es la distancia desde el eje de rotación hasta la curva inferior.
En este caso, el eje de rotación es \( y = -1 \):
- La curva superior es \( y = 2 - x \).
- La curva inferior es \( y = \sqrt{x} \).
Calculamos las distancias:
- Para la curva superior \( y = 2 - x \):
\[
R = (2 - x) - (-1) = 2 - x + 1 = 3 - x
\]
- Para la curva inferior \( y = \sqrt{x} \):
\[
r = \sqrt{x} - (-1) = \sqrt{x} + 1
\]
Ahora, el volumen se calcula como:
\[
V = \pi \int_0^1 \left( (3 - x)^2 - (\sqrt{x} + 1)^2 \right) \, dx
\]
Calculamos \( (3 - x)^2 \) y \( (\sqrt{x} + 1)^2 \):
\[
(3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2
\]
\[
(\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1
\]
Sustituyendo en la integral:
\[
V = \pi \int_0^1 \left( (9 - 6x + x^2) - (x + 2\sqrt{x} + 1) \right) \, dx
\]
Simplificamos:
\[
V = \pi \int_0^1 \left( 9 - 6x + x^2 - x - 2\sqrt{x} - 1 \right) \, dx
\]
\[
= \pi \int_0^1 \left( 8 - 7x - 2\sqrt{x} + x^2 \right) \, dx
\]
Ahora, calculamos la integral:
\[
V = \pi \left[ 8x - \frac{7x^2}{2} - \frac{2}{\frac{3}{2}}x^{3/2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1
\]
\[
= \pi \left[ 8(1) - \frac{7(1)^2}{2} - \frac{2(1)^{3/2}}{\frac{
Quick Answer
El volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 2 - x \), y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y = -1 \) es calculado como:
\[
V = \pi \int_0^1 \left( (3 - x)^2 - (\sqrt{x} + 1)^2 \right) \, dx
\]
Este integral se simplifica y evalúa para obtener el volumen.
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