\( \quad P(x)=(x+1)\left(a x^{2}+b x+c\right) \) où \( a, b \) et \( c \) sont trois nombres réels que l'on détermine \( 2^{\circ} \) Résoudre dans \( R \) : \( \begin{array}{ll}\text { a) I'équation } P(x)=0 ; & \text { b) l'inéquation } P(x) \leq 0\end{array} \)

Pour résoudre l'équation \( P(x) = 0 \) et l'inéquation \( P(x) \leq 0 \), nous devons d'abord développer l'expression de \( P(x) \). Nous avons : \[ P(x) = (x + 1)(a x^2 + b x + c) \] Pour que \( P(x) = 0 \), il faut que l'un des facteurs soit nul. Cela nous donne deux cas : 1. \( x + 1 = 0 \) 2. \( a x^2 + b x + c = 0 \) ### a) Résolution de l'équation \( P(x) = 0 \) 1. **Premier cas :** \( x + 1 = 0 \) Cela donne : \[ x = -1 \] 2. **Deuxième cas :** \( a x^2 + b x + c = 0 \) Pour résoudre cette équation quadratique, nous utilisons la formule du discriminant : \[ D = b^2 - 4ac \] - Si \( D > 0 \), il y a deux solutions distinctes. - Si \( D = 0 \), il y a une solution double. - Si \( D < 0 \), il n'y a pas de solution réelle. Les solutions de l'équation quadratique sont données par : \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] ### b) Résolution de l'inéquation \( P(x) \leq 0 \) Pour résoudre l'inéquation \( P(x) \leq 0 \), nous devons examiner les signes des facteurs de \( P(x) \). 1. **Les racines de \( P(x) \)** sont \( x = -1 \) et les racines de \( a x^2 + b x + c = 0 \) (notons-les \( r_1 \) et \( r_2 \)). 2. **Analysons les intervalles :** Les racines divisent la droite réelle en plusieurs intervalles. Nous devons tester le signe de \( P(x) \) dans chacun de ces intervalles. Les intervalles à considérer sont : - \( (-\infty, r_1) \) - \( (r_1, r_2) \) - \( (r_2, -1) \) - \( (-1, +\infty) \) Pour chaque intervalle, nous choisissons un point de test et déterminons le signe de \( P(x) \). ### Conclusion Pour donner une réponse complète, il nous faut les valeurs de \( a, b, c \) pour déterminer les racines de \( a x^2 + b x + c = 0 \) et le discriminant \( D \). Une fois que nous avons ces valeurs, nous pouvons conclure sur les solutions de l'équation et les intervalles où \( P(x) \leq 0 \). Si vous avez des valeurs spécifiques pour \( a, b, c \), je peux vous aider à aller plus loin dans la résolution.