Dada la matriz A a. Resuelva el sistema \( (A-\lambda I) X=0 \) b. Con los \( X \) obtenidos en (b) arme una matriz \( P \) y encuentre su inver c. Encuentre \( P^{-1} A P \).

Para resolver el problema que planteas, necesitamos una matriz \( A \) específica. Sin embargo, puedo guiarte a través de los pasos que debes seguir para resolver el sistema \( (A - \lambda I) X = 0 \), encontrar la matriz \( P \) y calcular \( P^{-1} A P \). ### Paso a paso: #### a. Resolver el sistema \( (A - \lambda I) X = 0 \) 1. **Encontrar los valores propios (\( \lambda \))**: - Calcula el determinante de \( A - \lambda I \) y establece la ecuación igual a cero: \[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \] - Resuelve esta ecuación para encontrar los valores propios \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \). 2. **Encontrar los vectores propios**: - Para cada valor propio \( \lambda_i \), resuelve el sistema: \[ (A - \lambda_i I) X = 0 \] - Esto te dará los vectores propios \( X_i \) correspondientes a cada \( \lambda_i \). #### b. Formar la matriz \( P \) y encontrar su inversa 1. **Construir la matriz \( P \)**: - Usa los vectores propios \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) que encontraste en el paso anterior para formar la matriz \( P \). Cada columna de \( P \) será un vector propio. 2. **Calcular la inversa de \( P \)**: - Si \( P \) es invertible, puedes calcular su inversa \( P^{-1} \) usando métodos como la eliminación de Gauss, la regla de Cramer, o utilizando la fórmula de la inversa de una matriz. #### c. Calcular \( P^{-1} A P \) 1. **Multiplicar las matrices**: - Una vez que tengas \( P \) y \( P^{-1} \), calcula el producto: \[ P^{-1} A P \] - Este producto te dará la matriz diagonal (o en forma canónica) de \( A \) si \( A \) es diagonalizable. ### Ejemplo Si tu matriz \( A \) es, por ejemplo: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \] 1. **Encontrar los valores propios**: - Calcula \( \text{det}(A - \lambda I) \): \[ \text{det}\begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \] - Los valores propios son \( \lambda_1 = 5 \) y \( \lambda_2 = 2 \). 2. **Encontrar los vectores propios**: - Para \( \lambda_1 = 5 \): \[ (A - 5I)X = 0 \implies \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0 \] - Esto da el vector propio \( X_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). - Para \( \lambda_2 = 2 \): \[ (A - 2I)X = 0 \implies \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0 \] - Esto da el vector propio \( X_2 = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1 \end{pmatrix} \). 3. **Formar la matriz \( P \)**: \[ P = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] 4. **Calcular \( P^{-1} \)**: - Usando la fórmula de la inversa de