1. Realiza la gráfica de la función tangente, cotangente, secante y cosecante en el intervalo \( [3 \pi,-3 \pi] \). 2. Realiza la gráfica la función \( y=\tan (2 x) \). ¿Cuál es el periodo de esta función? 3. Indica si cada afirmación es verdadera \( (\mathrm{V}) \) o falsa \( (F) \). L. petiodo de la función \( y=\cot (2 x-2 \pi) \) es \( \frac{\pi}{2} \). II destase de la función \( y=\cot (2 x-2 \pi) \) es \( \pi \) unidades a la derecha. 4. Escribe la ecuación de la forma \( y=A \sec (\omega x-\emptyset)+B \), que cumpla con las siguientes condiciones: periodo: \( \pi \) y desfase: \( \frac{\pi}{2} \).

1. **Gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante en el intervalo \([-3\pi, 3\pi]\)**: Para graficar estas funciones, se pueden utilizar herramientas de software como Python con Matplotlib, Desmos, o cualquier calculadora gráfica. Aquí te doy una descripción de cómo se comportan estas funciones en el intervalo mencionado: - **Tangente (\(y = \tan(x)\))**: Tiene asíntotas verticales en \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) donde \(n\) es un entero. La función oscila entre \(-\infty\) y \(+\infty\) en cada intervalo entre las asíntotas. - **Cotangente (\(y = \cot(x)\))**: Tiene asíntotas verticales en \(x = n\pi\) donde \(n\) es un entero. La función también oscila entre \(-\infty\) y \(+\infty\). - **Secante (\(y = \sec(x)\))**: Tiene asíntotas verticales en \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\). La función toma valores desde \(+\infty\) a \(+\infty\) en cada intervalo entre las asíntotas. - **Cosecante (\(y = \csc(x)\))**: Tiene asíntotas verticales en \(x = n\pi\). La función también oscila entre \(+\infty\) y \(-\infty\). Puedes graficar estas funciones utilizando software gráfico para visualizar su comportamiento. 2. **Gráfica de la función \(y = \tan(2x)\)**: La función \(y = \tan(2x)\) tiene un periodo que se puede calcular como: \[ \text{Periodo} = \frac{\pi}{k} \] donde \(k\) es el coeficiente de \(x\) en la función tangente. En este caso, \(k = 2\), por lo que el periodo es: \[ \text{Periodo} = \frac{\pi}{2} \] 3. **Afirmaciones**: - **I. El periodo de la función \(y = \cot(2x - 2\pi)\) es \(\frac{\pi}{2}\)**: **(V)**. El periodo de \(\cot(kx)\) es \(\frac{\pi}{k}\), y aquí \(k = 2\). - **II. El desfase de la función \(y = \cot(2x - 2\pi)\) es \(\pi\) unidades a la derecha**: **(F)**. El desfase se calcula como \(\frac{2\pi}{2} = \pi\) unidades a la derecha, pero el desfase se refiere a la forma \(y = \cot(k(x - d))\), donde \(d\) es el desfase. En este caso, el desfase es \(2\pi\) a la derecha, no \(\pi\). 4. **Ecuación de la forma \(y = A \sec(\omega x - \phi) + B\)**: Para cumplir con las condiciones de periodo \(\pi\) y desfase \(\frac{\pi}{2}\): - El periodo de la función secante es dado por \(\frac{2\pi}{|\omega|}\). Para que el periodo sea \(\pi\), necesitamos que: \[ \frac{2\pi}{|\omega|} = \pi \implies |\omega| = 2 \] - Para el desfase \(\phi\), dado que queremos un desfase de \(\frac{\pi}{2}\), podemos tomar \(\phi = \frac{\pi}{2}\). Por lo tanto, una posible ecuación que cumple con estas condiciones es: \[ y = A \sec(2x - \frac{\pi}{2}) + B \] Donde \(A\) y \(B\) pueden ser cualquier valor real. Por ejemplo, si tomamos \(A = 1\) y \(B = 0\), la ecuación sería: \[ y = \sec(2x - \frac{\pi}{2}) \]