Factoriza los siguientes polinomios. 382. \( 64 n^{3}+240 n^{2} y+300 n y^{2}+125 y^{3} \) 383. \( x^{6}-6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-8 y^{3} \)

Vamos a factorizar los polinomios que has proporcionado. ### 382. \( 64 n^{3}+240 n^{2} y+300 n y^{2}+125 y^{3} \) Primero, observamos que el polinomio tiene cuatro términos. Podemos intentar agruparlos o buscar un patrón. Notamos que los coeficientes son perfectos para un trinomio cúbico. Reorganizamos el polinomio: \[ 64 n^3 + 240 n^2 y + 300 n y^2 + 125 y^3 \] Podemos agrupar los términos: \[ (64 n^3 + 240 n^2 y + 300 n y^2 + 125 y^3) = (64 n^3 + 240 n^2 y + 300 n y^2) + 125 y^3 \] Sin embargo, es más fácil notar que este polinomio se puede expresar como un cubo de un binomio. Observamos que: \[ 64 n^3 = (4n)^3, \quad 125 y^3 = (5y)^3 \] Y los términos intermedios sugieren que podemos usar la fórmula del cubo de un binomio: \[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] Donde \( a = 4n \) y \( b = 5y \). Entonces, el polinomio se puede factorizar como: \[ (4n + 5y)^3 \] ### Respuesta: \[ 64 n^{3}+240 n^{2} y+300 n y^{2}+125 y^{3} = (4n + 5y)^3 \] --- ### 383. \( x^{6}-6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-8 y^{3} \) Este polinomio también tiene cuatro términos. Vamos a reorganizarlo: \[ x^6 - 6x^4y + 12x^2y^2 - 8y^3 \] Observamos que los primeros tres términos son potencias de \( x \) y \( y \). Notamos que podemos agrupar los términos de la siguiente manera: \[ x^6 - 6x^4y + 12x^2y^2 - 8y^3 = (x^6 - 6x^4y + 12x^2y^2) - 8y^3 \] Los primeros tres términos son un trinomio cuadrado perfecto. Podemos reescribirlo como: \[ (x^2)^3 - 3(2y)(x^2)^2 + 3(2y)^2(x^2) - (2y)^3 \] Esto se puede factorizar como: \[ (x^2 - 2y)^3 \] ### Respuesta: \[ x^{6}-6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-8 y^{3} = (x^2 - 2y)^3 \] --- En resumen, las factorizaciones son: 1. \( 64 n^{3}+240 n^{2} y+300 n y^{2}+125 y^{3} = (4n + 5y)^3 \) 2. \( x^{6}-6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-8 y^{3} = (x^2 - 2y)^3 \)