El polinomio \( p(x)=2 x^{3}+17 x^{2}+41 x+30 \) tiene un factor conocido \( (x+5) \) Vuelve a escribir \( p(x) \) como un producto de factores lineales. \( p(x)=\square \)

Para factorizar el polinomio \( p(x) = 2x^3 + 17x^2 + 41x + 30 \) dado que sabemos que \( (x + 5) \) es un factor, podemos usar la división sintética o la división polinómica. ### Paso 1: División sintética Usamos la división sintética con \( x = -5 \): 1. Coeficientes de \( p(x) \): \( 2, 17, 41, 30 \) 2. Usamos \( -5 \): \[ \begin{array}{r|rrrr} -5 & 2 & 17 & 41 & 30 \\ & & -10 & -35 & -30 \\ \hline & 2 & 7 & 6 & 0 \\ \end{array} \] El resultado de la división es \( 2x^2 + 7x + 6 \). ### Paso 2: Factorizar el trinomio Ahora, necesitamos factorizar \( 2x^2 + 7x + 6 \). Buscamos dos números que multiplicados den \( 2 \cdot 6 = 12 \) y sumados den \( 7 \). Los números son \( 3 \) y \( 4 \). Reescribimos el trinomio: \[ 2x^2 + 3x + 4x + 6 \] Agrupamos: \[ (2x^2 + 3x) + (4x + 6) \] Factorizamos cada grupo: \[ x(2x + 3) + 2(2x + 3) \] Sacamos el factor común: \[ (2x + 3)(x + 2) \] ### Paso 3: Escribir el polinomio como un producto de factores lineales Ahora podemos escribir \( p(x) \) como: \[ p(x) = (x + 5)(2x + 3)(x + 2) \] Por lo tanto, la respuesta es: \[ p(x) = (x + 5)(2x + 3)(x + 2) \]