Itra entre, Ejercicio 2. Dada la función \( f(x)=-x^{2}-2 \), determina el área que se encuentra entre la recta y el eje \( x \), en el intervalo \( (-2,2] \) y graficar.

Para determinar el área entre la función \( f(x) = -x^2 - 2 \) y el eje \( x \) en el intervalo \( (-2, 2] \), primero necesitamos encontrar los puntos de intersección de la función con el eje \( x \). Esto se hace igualando la función a cero: \[ -x^2 - 2 = 0 \] Resolviendo para \( x \): \[ -x^2 = 2 \implies x^2 = -2 \] Dado que no hay soluciones reales para esta ecuación, podemos concluir que la función \( f(x) \) no cruza el eje \( x \) en el intervalo dado. Esto significa que la función está completamente por debajo del eje \( x \) en el intervalo \( (-2, 2] \). Para calcular el área entre la curva y el eje \( x \), debemos integrar la función en el intervalo dado y tomar el valor absoluto, ya que el área es siempre positiva: \[ \text{Área} = -\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = -\int_{-2}^{2} (-x^2 - 2) \, dx = \int_{-2}^{2} (x^2 + 2) \, dx \] Ahora, calculamos la integral: \[ \int (x^2 + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x \] Evaluamos la integral definida en el intervalo \( (-2, 2) \): \[ \int_{-2}^{2} (x^2 + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{-2}^{2} \] Calculamos en \( x = 2 \): \[ \left( \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 \right) = \left( \frac{8}{3} + 4 \right) = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \] Calculamos en \( x = -2 \): \[ \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2 \cdot (-2) \right) = \left( \frac{-8}{3} - 4 \right) = \frac{-8}{3} - \frac{12}{3} = \frac{-20}{3} \] Ahora restamos los resultados: \[ \int_{-2}^{2} (x^2 + 2) \, dx = \frac{20}{3} - \left( \frac{-20}{3} \right) = \frac{20}{3} + \frac{20}{3} = \frac{40}{3} \] Por lo tanto, el área entre la función \( f(x) \) y el eje \( x \) en el intervalo \( (-2, 2] \) es: \[ \text{Área} = \frac{40}{3} \] ### Gráfica Para graficar la función \( f(x) = -x^2 - 2 \): 1. La función es una parábola que abre hacia abajo. 2. El vértice de la parábola se encuentra en \( (0, -2) \). 3. La función toma valores negativos en todo el intervalo \( (-2, 2] \). Aquí tienes una representación de la gráfica: ```plaintext y | | * | * * | * * | * * | * * | * * | * * | * * | * * | * * |* * |--------------------- x -2 -1 0 1 2 ``` La región entre la curva y el eje \( x \) en el intervalo \( (-2, 2] \) es la que se encuentra debajo de la parábola y por encima del eje \( x \).