3. [Valor: 2] Sabemos que el dominio de la función cuadrática \( y=f(x)=2 x^{2}+8 x-10 \) es el conjunto de los números reales. A. Determinar el rango de la función dada. Nota: Exprese la función de la forma \( y=f(x)=a(x-h)^{2}+k \) B. Hallar los interceptos con los ejes coordenados (tanto con el eje X como con el eje Y ).

Para resolver el problema, vamos a seguir los pasos solicitados. ### A. Determinar el rango de la función La función cuadrática dada es: \[ f(x) = 2x^2 + 8x - 10 \] Primero, vamos a reescribir la función en la forma \( f(x) = a(x-h)^2 + k \) utilizando el método de completar el cuadrado. 1. **Factorizamos el coeficiente de \( x^2 \)**: \[ f(x) = 2(x^2 + 4x) - 10 \] 2. **Completamos el cuadrado**: Para completar el cuadrado en \( x^2 + 4x \), tomamos la mitad del coeficiente de \( x \) (que es 4), lo elevamos al cuadrado y lo sumamos y restamos dentro del paréntesis: \[ \text{La mitad de 4 es 2, y } 2^2 = 4. \] Entonces: \[ f(x) = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) - 10 \] \[ = 2((x + 2)^2 - 4) - 10 \] \[ = 2(x + 2)^2 - 8 - 10 \] \[ = 2(x + 2)^2 - 18 \] Ahora tenemos la función en la forma deseada: \[ f(x) = 2(x + 2)^2 - 18 \] 3. **Identificamos \( a \), \( h \) y \( k \)**: - \( a = 2 \) (positivo, lo que indica que la parábola abre hacia arriba) - \( h = -2 \) - \( k = -18 \) 4. **Determinamos el rango**: Dado que la parábola abre hacia arriba y su vértice está en el punto \( (-2, -18) \), el valor mínimo de \( f(x) \) es \( -18 \). Por lo tanto, el rango de la función es: \[ \text{Rango: } [-18, \infty) \] ### B. Hallar los interceptos con los ejes coordenados 1. **Intercepto con el eje Y**: Para encontrar el intercepto con el eje Y, evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = 2(0)^2 + 8(0) - 10 = -10 \] Por lo tanto, el intercepto con el eje Y es: \[ (0, -10) \] 2. **Interceptos con el eje X**: Para encontrar los interceptos con el eje X, resolvemos la ecuación \( f(x) = 0 \): \[ 2x^2 + 8x - 10 = 0 \] Dividimos toda la ecuación entre 2 para simplificar: \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \] Ahora factorizamos la ecuación: \[ (x + 5)(x - 1) = 0 \] Esto nos da las soluciones: \[ x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5 \] \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Por lo tanto, los interceptos con el eje X son: \[ (-5, 0) \quad \text{y} \quad (1, 0) \] ### Resumen de resultados - **Rango**: \([-18, \infty)\) - **Intercepto con el eje Y**: \((0, -10)\) - **Interceptos con el eje X**: \((-5, 0)\) y \((1, 0)\)