3. Определите промелутки знакопостолнства функции: а) \( f(x)=\frac{x}{5}+1 \) 6) \( f(x)=\frac{(x-4)(x+3)}{(x-2)(x+1)} \)

Чтобы определить промежутки знакопостоянства функции, нужно найти нули функции и точки, в которых функция не определена. Затем мы можем исследовать знаки функции на промежутках, образованных этими точками. ### а) \( f(x) = \frac{x}{5} + 1 \) 1. **Найдем нули функции:** \[ \frac{x}{5} + 1 = 0 \implies \frac{x}{5} = -1 \implies x = -5 \] 2. **Функция определена для всех \( x \), так как это линейная функция.** 3. **Исследуем знак функции:** - Для \( x < -5 \): \( f(x) < 0 \) - Для \( x = -5 \): \( f(x) = 0 \) - Для \( x > -5 \): \( f(x) > 0 \) Таким образом, промежутки знакопостоянства: - \( (-\infty, -5) \) — \( f(x) < 0 \) - \( (-5, +\infty) \) — \( f(x) > 0 \) ### б) \( f(x) = \frac{(x-4)(x+3)}{(x-2)(x+1)} \) 1. **Найдем нули функции:** Нули функции находятся, когда числитель равен нулю: \[ (x-4)(x+3) = 0 \implies x = 4 \quad \text{или} \quad x = -3 \] 2. **Найдем точки, в которых функция не определена:** Функция не определена, когда знаменатель равен нулю: \[ (x-2)(x+1) = 0 \implies x = 2 \quad \text{или} \quad x = -1 \] 3. **Итак, у нас есть критические точки: \( x = -3, -1, 2, 4 \)**. 4. **Исследуем знак функции на промежутках:** Разделим числовую ось на промежутки: - \( (-\infty, -3) \) - \( (-3, -1) \) - \( (-1, 2) \) - \( (2, 4) \) - \( (4, +\infty) \) Теперь проверим знак функции на каждом из этих промежутков: - Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \[ f(-4) = \frac{(-4-4)(-4+3)}{(-4-2)(-4+1)} = \frac{(-8)(-1)}{(-6)(-3)} = \frac{8}{18} > 0 \] - Для \( -3 < x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ f(-2) = \frac{(-2-4)(-2+3)}{(-2-2)(-2+1)} = \frac{(-6)(1)}{(-4)(-1)} = \frac{-6}{4} < 0 \] - Для \( -1 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f(0) = \frac{(0-4)(0+3)}{(0-2)(0+1)} = \frac{(-4)(3)}{(-2)(1)} = \frac{-12}{-2} > 0 \] - Для \( 2 < x < 4 \) (например, \( x = 3 \)): \[ f(3) = \frac{(3-4)(3+3)}{(3-2)(3+1)} = \frac{(-1)(6)}{(1)(4)} = \frac{-6}{4} < 0 \] - Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \[ f(5) = \frac{(5-4)(5+3)}{(5-2)(5+1)} = \frac{(1)(8)}{(3)(6)} = \frac{8}{18} > 0 \] 5. **Соберем результаты:** - \(