Integral definida 1) Dibujar la región asociada a cada integral definida y evaluarlas a través de alguna fórmula geométrica: \( \begin{array}{llll}\text { a) } \int_{1}^{2} 5 d x & \text { b) } \int_{0}^{2} x+3 d x & \text { c) } \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x & \text { d) } \int_{-1}^{3} x d x\end{array} \)

Para resolver las integrales definidas y dibujar las regiones asociadas, procederemos una por una. ### a) \( \int_{1}^{2} 5 \, dx \) **Dibujo de la región:** La función \( f(x) = 5 \) es una línea horizontal que se encuentra en \( y = 5 \). La región asociada a esta integral es un rectángulo con base desde \( x = 1 \) hasta \( x = 2 \) y altura \( 5 \). **Evaluación:** El área del rectángulo se calcula como: \[ \text{Área} = \text{base} \times \text{altura} = (2 - 1) \times 5 = 1 \times 5 = 5 \] Por lo tanto, \( \int_{1}^{2} 5 \, dx = 5 \). --- ### b) \( \int_{0}^{2} (x + 3) \, dx \) **Dibujo de la región:** La función \( f(x) = x + 3 \) es una línea recta que intercepta el eje \( y \) en \( y = 3 \) y tiene una pendiente de \( 1 \). La región asociada es un trapecio con vértices en \( (0, 3) \), \( (2, 5) \), \( (2, 0) \) y \( (0, 0) \). **Evaluación:** Primero, calculamos el área bajo la curva: \[ \int (x + 3) \, dx = \frac{x^2}{2} + 3x \] Evaluamos de \( 0 \) a \( 2 \): \[ \left[ \frac{2^2}{2} + 3(2) \right] - \left[ \frac{0^2}{2} + 3(0) \right] = \left[ 2 + 6 \right] - [0] = 8 \] Por lo tanto, \( \int_{0}^{2} (x + 3) \, dx = 8 \). --- ### c) \( \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx \) **Dibujo de la región:** La función \( f(x) = \sqrt{1 - x^2} \) representa la parte superior de un círculo de radio \( 1 \) centrado en el origen. La región asociada es la semicircunferencia en el intervalo de \( x = -1 \) a \( x = 1 \). **Evaluación:** El área de un círculo es \( \pi r^2 \). Para un semicirculo: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \pi (1^2) = \frac{\pi}{2} \] Por lo tanto, \( \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \). --- ### d) \( \int_{-1}^{3} x \, dx \) **Dibujo de la región:** La función \( f(x) = x \) es una línea recta que pasa por el origen. La región asociada es un trapecio que se extiende desde \( x = -1 \) hasta \( x = 3 \). **Evaluación:** Calculamos la integral: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] Evaluamos de \( -1 \) a \( 3 \): \[ \left[ \frac{3^2}{2} \right] - \left[ \frac{(-1)^2}{2} \right] = \left[ \frac{9}{2} \right] - \left[ \frac{1}{2} \right] = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] Por lo tanto, \( \int_{-1}^{3} x \, dx = 4 \). --- ### Resumen de resultados: - a) \( \int_{1}^{2} 5 \, dx = 5 \) - b) \( \int_{0}^{2} (x + 3) \, dx = 8 \) - c) \( \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \) - d) \( \int_{-1}^{3} x \, dx = 4 \)