Pena Haynes
06/09/2024 · Senior High School
2. a) Si \( A \) es el área de un círculo cuyo radio es \( r \), y el círculo se expande a medida que pasa el tiempo, exprese \( d A / d t \) en términos de \( d r / d t \). b) Suponga que se derrama aceite de un depósito agrietado y que se extiende siguiendo una circular. Si el radio del derrame de aceite se incrementa con una rapidez constante de \( 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \), ¿qué tan rápido se incrementa el área del derrame cuando el radio es de 30 m ?
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Para resolver el problema, vamos a seguir los pasos solicitados.
### a) Expresión de \( \frac{dA}{dt} \) en términos de \( \frac{dr}{dt} \)
El área \( A \) de un círculo está dada por la fórmula:
\[
A = \pi r^2
\]
Para encontrar la tasa de cambio del área con respecto al tiempo, aplicamos la regla de la cadena:
\[
\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}
\]
Primero, calculamos \( \frac{dA}{dr} \):
\[
\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2\pi r
\]
Ahora, sustituimos esto en la expresión de \( \frac{dA}{dt} \):
\[
\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt}
\]
### b) Tasa de cambio del área cuando el radio es de 30 m
Dado que el radio del derrame de aceite se incrementa a una rapidez constante de \( \frac{dr}{dt} = 1 \, \text{m/s} \) y queremos encontrar \( \frac{dA}{dt} \) cuando \( r = 30 \, \text{m} \), sustituimos estos valores en la expresión que encontramos en el inciso a):
\[
\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt}
\]
Sustituyendo \( r = 30 \, \text{m} \) y \( \frac{dr}{dt} = 1 \, \text{m/s} \):
\[
\frac{dA}{dt} = 2\pi (30) \cdot (1) = 60\pi
\]
Por lo tanto, la tasa de cambio del área del derrame de aceite cuando el radio es de 30 m es:
\[
\frac{dA}{dt} = 60\pi \, \text{m}^2/\text{s}
\]
### Resumen de resultados
a) \( \frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} \)
b) \( \frac{dA}{dt} = 60\pi \, \text{m}^2/\text{s} \) cuando \( r = 30 \, \text{m} \).
Quick Answer
a) \( \frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} \)
b) \( \frac{dA}{dt} = 60\pi \, \text{m}^2/\text{s} \) cuando \( r = 30 \, \text{m} \).
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