El área encerrada por las funciones \( f(x)=2 x^{2}+2 x-1 \) y la recta \( g(x)=4 x+3 \) es: \( \begin{array}{llll}\text { a) } 9 u^{2} & \text { b) } \frac{11}{3} u^{2} & \text { c) } \frac{7}{3} u^{2} & \text { d) } 10 u^{2}\end{array} \)

Para encontrar el área encerrada por las funciones \( f(x)=2x^2+2x-1 \) y la recta \( g(x)=4x+3 \), primero necesitamos encontrar los puntos de intersección de ambas funciones. Para encontrar los puntos de intersección, igualamos las dos funciones y resolvemos la ecuación: \[ 2x^2 + 2x - 1 = 4x + 3 \] Llevamos todos los términos a un lado de la ecuación: \[ 2x^2 + 2x - 1 - 4x - 3 = 0 \] \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \] Dividimos toda la ecuación por 2 para simplificar: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Ahora resolvemos la ecuación usando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Donde \( a = 1 \), \( b = -1 \), y \( c = -2 \): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \] Se obtienen dos soluciones: \[ x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Por lo tanto, los puntos de intersección son \( x = -1 \) y \( x = 2 \). El área encerrada por las dos funciones es la integral de la diferencia entre las dos funciones en el intervalo entre los puntos de intersección: \[ \text{Área} = \int_{-1}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx \] \[ \text{Área} = \int_{-1}^{2} [(2x^2 + 2x - 1) - (4x + 3)] \, dx \] \[ \text{Área} = \int_{-1}^{2} [2x^2 + 2x - 1 - 4x - 3] \, dx \] \[ \text{Área} = \int_{-1}^{2} [2x^2 - 2x - 4] \, dx \] Integramos cada término: \[ \text{Área} = \left[ \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x \right]_{-1}^{2} \] Calculamos el valor en el límite superior y el límite inferior: \[ \text{Área} = \left( \frac{2}{3}(2)^3 - (2)^2 - 4(2) \right) - \left( \frac{2}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) \right) \] \[ \text{Área} = \left( \frac{2}{3}(8) - 4 - 8 \right) - \left( \frac{2}{3}(-1) - 1 + 4 \right) \] \[ \text{Área} = \left( \frac{16}{3} - 4 - 8 \right) - \left( -\frac{2}{3} - 1 + 4 \right) \] \[ \text{Área} = \left( \frac{16}{3} - \frac{12}{3} - \frac{24}{3} \right) - \left( -\frac{2}{3} - \frac{3}{3} + \frac{12}{3} \right) \] \[ \text{Área} = \left( \frac{16 - 12 - 24}{3} \right) - \left( \frac{-2 - 3 + 12}{3} \right) \] \[ \text{Área} = \left( \frac{-20}{3} \right) - \left( \frac{7}{3} \right) \] \[ \text{Área} = -\frac{20}{3} - \frac{7}{3} \] \[ \text{Área} = -\frac{27}{3} \