1. \( f(0)=2, f(2)=7, f^{\prime}(0)=5, f^{\prime}(2)=3 \) y \( f^{\prime \prime} \) es continua. Aplicar el método de integración por partes para hallar el valor de \( \int_{\square}^{\square} x f^{\prime \prime} d x \)

Para resolver la integral \( \int_{\square}^{\square} x f^{\prime \prime}(x) \, dx \) utilizando el método de integración por partes, primero recordemos la fórmula de integración por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] En este caso, elegimos: - \( u = x \) \(\Rightarrow du = dx\) - \( dv = f^{\prime \prime}(x) \, dx \) \(\Rightarrow v = f^{\prime}(x)\) Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes: \[ \int x f^{\prime \prime}(x) \, dx = x f^{\prime}(x) - \int f^{\prime}(x) \, dx \] Ahora evaluamos la integral en los límites que se nos proporcionen. Sin embargo, no se han especificado los límites de integración en tu pregunta. Supongamos que los límites son \( a \) y \( b \). Entonces, tenemos: \[ \int_a^b x f^{\prime \prime}(x) \, dx = \left[ x f^{\prime}(x) \right]_a^b - \int_a^b f^{\prime}(x) \, dx \] Ahora evaluamos \( \left[ x f^{\prime}(x) \right]_a^b \): \[ \left[ x f^{\prime}(x) \right]_a^b = b f^{\prime}(b) - a f^{\prime}(a) \] Y para la integral \( \int_a^b f^{\prime}(x) \, dx \), sabemos que: \[ \int_a^b f^{\prime}(x) \, dx = f(b) - f(a) \] Por lo tanto, la expresión completa se convierte en: \[ \int_a^b x f^{\prime \prime}(x) \, dx = b f^{\prime}(b) - a f^{\prime}(a) - (f(b) - f(a)) \] Ahora, si tomamos \( a = 0 \) y \( b = 2 \), podemos sustituir los valores que tenemos: - \( f(0) = 2 \) - \( f(2) = 7 \) - \( f^{\prime}(0) = 5 \) - \( f^{\prime}(2) = 3 \) Sustituyendo en la fórmula: \[ \int_0^2 x f^{\prime \prime}(x) \, dx = 2 f^{\prime}(2) - 0 f^{\prime}(0) - (f(2) - f(0)) \] Calculamos cada término: \[ = 2 \cdot 3 - 0 \cdot 5 - (7 - 2) \] \[ = 6 - 0 - 5 \] \[ = 6 - 5 = 1 \] Por lo tanto, el valor de la integral es: \[ \int_0^2 x f^{\prime \prime}(x) \, dx = 1 \]