Semplifica le espressioni applicando, se possibite, te proprietà d \( 3\left(2^{4} \cdot 7^{4}\right): 14^{3} \neq 5^{14}:\left[5^{3} \cdot\left(5^{2}\right)^{3}\right): 25^{2}=10^{2}: 5^{2}+\left(81^{2} \cdot 27^{3}\right):\left(9^{5} \cdot 243\right. \)

Iniziamo a semplificare l'espressione passo dopo passo. 1. **Semplificazione della prima parte:** \[ 3\left(2^{4} \cdot 7^{4}\right): 14^{3} \] Possiamo riscrivere \(14^{3}\) come \((2 \cdot 7)^{3} = 2^{3} \cdot 7^{3}\). Quindi: \[ 3\left(2^{4} \cdot 7^{4}\right) : (2^{3} \cdot 7^{3}) = 3 \cdot \frac{2^{4} \cdot 7^{4}}{2^{3} \cdot 7^{3}} = 3 \cdot 2^{4-3} \cdot 7^{4-3} = 3 \cdot 2^{1} \cdot 7^{1} = 3 \cdot 2 \cdot 7 = 42 \] 2. **Semplificazione della seconda parte:** \[ 5^{14}:\left[5^{3} \cdot\left(5^{2}\right)^{3}\right] \] Possiamo semplificare \(\left(5^{2}\right)^{3}\) come \(5^{2 \cdot 3} = 5^{6}\). Quindi: \[ 5^{3} \cdot 5^{6} = 5^{3+6} = 5^{9} \] Ora possiamo scrivere: \[ 5^{14} : 5^{9} = 5^{14-9} = 5^{5} \] 3. **Semplificazione della terza parte:** \[ 10^{2}: 5^{2}+\left(81^{2} \cdot 27^{3}\right):\left(9^{5} \cdot 243\right) \] Iniziamo con \(10^{2} : 5^{2}\): \[ 10^{2} = (2 \cdot 5)^{2} = 2^{2} \cdot 5^{2} \] Quindi: \[ 10^{2} : 5^{2} = \frac{2^{2} \cdot 5^{2}}{5^{2}} = 2^{2} = 4 \] Ora semplifichiamo \(\left(81^{2} \cdot 27^{3}\right)\): \[ 81 = 3^{4} \quad \text{e} \quad 27 = 3^{3} \] Quindi: \[ 81^{2} = (3^{4})^{2} = 3^{8} \quad \text{e} \quad 27^{3} = (3^{3})^{3} = 3^{9} \] Pertanto: \[ 81^{2} \cdot 27^{3} = 3^{8} \cdot 3^{9} = 3^{8+9} = 3^{17} \] Ora semplifichiamo \(\left(9^{5} \cdot 243\right)\): \[ 9 = 3^{2} \quad \text{quindi} \quad 9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10} \] E \(243 = 3^{5}\), quindi: \[ 9^{5} \cdot 243 = 3^{10} \cdot 3^{5} = 3^{10+5} = 3^{15} \] Ora possiamo scrivere: \[ \left(81^{2} \cdot 27^{3}\right) : \left(9^{5} \cdot 243\right) = \frac{3^{17}}{3^{15}} = 3^{17-15} = 3^{2} = 9 \] 4. **Combinando tutto:** Ora abbiamo: \[ 4 + 9 = 13 \] 5. **Risultato finale:** L'espressione semplificata è: \[ 42 \neq 5^{5} : 13 \] Quindi, l'espressione finale è: \[ 42 \neq 5^{5} : 13 \]