On considere la fonction definie to IR par \( f(x)=\frac{5 x}{x^{2}+4} \) Iludier les variatiago d dreswer tableau de variadion de \( f \). In dodure li ima ge de chacu des incervalles [o 4\( ] \) et \( [3+\infty] \)

Pour étudier les variations de la fonction \( f(x) = \frac{5x}{x^2 + 4} \), nous allons suivre les étapes suivantes : 1. **Calculer la dérivée de \( f \)**. 2. **Déterminer les points critiques**. 3. **Étudier le signe de la dérivée pour établir le tableau de variations**. 4. **Calculer les images de \( f \) sur les intervalles \([0, 4]\) et \([3, +\infty]\)**. ### 1. Calcul de la dérivée Utilisons la règle du quotient pour dériver \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 4)(5) - (5x)(2x)}{(x^2 + 4)^2} \] Calculons le numérateur : \[ f'(x) = \frac{5(x^2 + 4) - 10x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{5x^2 + 20 - 10x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{-5x^2 + 20}{(x^2 + 4)^2} \] ### 2. Déterminer les points critiques Pour trouver les points critiques, nous résolvons \( f'(x) = 0 \): \[ -5x^2 + 20 = 0 \implies 5x^2 = 20 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] Nous avons donc deux points critiques : \( x = -2 \) et \( x = 2 \). ### 3. Étudier le signe de la dérivée Nous allons examiner le signe de \( f'(x) \) sur les intervalles déterminés par les points critiques : \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), et \( (2, +\infty) \). - **Pour \( x < -2 \)** (par exemple \( x = -3 \)): \[ f'(-3) = \frac{-5(-3)^2 + 20}{((-3)^2 + 4)^2} = \frac{-45 + 20}{(9 + 4)^2} = \frac{-25}{169} < 0 \] Donc, \( f \) est décroissante sur \( (-\infty, -2) \). - **Pour \( -2 < x < 2 \)** (par exemple \( x = 0 \)): \[ f'(0) = \frac{-5(0)^2 + 20}{(0^2 + 4)^2} = \frac{20}{16} > 0 \] Donc, \( f \) est croissante sur \( (-2, 2) \). - **Pour \( x > 2 \)** (par exemple \( x = 3 \)): \[ f'(3) = \frac{-5(3)^2 + 20}{(3^2 + 4)^2} = \frac{-45 + 20}{(9 + 4)^2} = \frac{-25}{169} < 0 \] Donc, \( f \) est décroissante sur \( (2, +\infty) \). ### 4. Tableau de variations Nous pouvons maintenant établir le tableau de variations de \( f \): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -2 & 2 & +\infty \\ \hline f' & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f & \searrow & \text{max} & \nearrow & \text{max} & \searrow \\ \hline \end{array} \] ### 5. Images sur les intervalles - **Pour l'intervalle \([0, 4]\)** : - \( f(0) = 0 \) - \( f(4) = \frac{5 \cdot 4}{4^2 + 4} = \frac{20}{20} = 1 \) - \( f \) est croissante sur \([0, 4]\), donc l'image est \([0, 1]\). - **Pour l'intervalle \([3, +\infty]\)** : - \( f(3) = \