Instrucciones. Observe cuidadosamente, identifique a qué tipo de función corresponde y determine el dominio para cada una de las siguientes funciones. 2) \( f(x)=\frac{3 x-4}{x^{2}-6 x-7} \)

### Solución Para determinar el tipo de función y su dominio, primero identificamos el tipo de función que se nos presenta y luego calculamos su dominio. #### Identificación de la función La función dada es: \[ f(x) = \frac{3x - 4}{x^2 - 6x - 7} \] Esta es una función razonable, ya que se compone de una parte numeradora y una parte denominadora. #### Determinación del dominio El dominio de una función razonable es todo el conjunto de valores de \( x \) para los cuales la función está definida. La función está definida siempre y cuando la denominadora no sea cero. Para encontrar los valores de \( x \) que hacen que la denominadora sea cero, resolvemos la ecuación: \[ x^2 - 6x - 7 = 0 \] Podemos resolver esta ecuación usando la factorización: \[ x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1) = 0 \] De esta manera, obtenemos dos valores críticos: \[ x - 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 7 \] \[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] Estos son los valores de \( x \) que hacen que la denominadora sea cero. Por lo tanto, la función no está definida en estos puntos. El dominio de la función es todo el conjunto de números reales excepto \( x = 7 \) y \( x = -1 \). En términos matemáticos, el dominio es: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{7, -1\} \] ### Resumen La función \( f(x) = \frac{3x - 4}{x^2 - 6x - 7} \) es una función razonable. Su dominio es: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{7, -1\} \] En otras palabras, el dominio de la función es todo el conjunto de números reales excepto 7 y -1.