El area encerrada por las funciones \( f(x)=2 x^{\wedge} 2+2 x-1 \) y la recta \( g(x)=4 x+3 \) es: a) \( 9 u^{\wedge} 2 \) b>) \( 11 / 3 u^{\wedge} 2 \) c) \( 7 / 3 u^{\wedge} 2 \) d) \( 10 u^{\wedge} 2 \)

Para encontrar el área encerrada entre las funciones \( f(x) = 2x^2 + 2x - 1 \) y \( g(x) = 4x + 3 \), primero necesitamos encontrar los puntos de intersección de ambas funciones. Esto se hace igualando \( f(x) \) y \( g(x) \): \[ 2x^2 + 2x - 1 = 4x + 3 \] Reorganizando la ecuación: \[ 2x^2 + 2x - 4x - 1 - 3 = 0 \] \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \] Dividiendo toda la ecuación entre 2: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Ahora factorizamos la ecuación cuadrática: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Los puntos de intersección son: \[ x = 2 \quad \text{y} \quad x = -1 \] Ahora, para encontrar el área encerrada entre las dos curvas, calculamos la integral de la diferencia de las funciones desde \( x = -1 \) hasta \( x = 2 \): \[ \text{Área} = \int_{-1}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx \] Sustituyendo \( g(x) \) y \( f(x) \): \[ \text{Área} = \int_{-1}^{2} ((4x + 3) - (2x^2 + 2x - 1)) \, dx \] \[ = \int_{-1}^{2} (4x + 3 - 2x^2 - 2x + 1) \, dx \] \[ = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx \] Ahora, calculamos la integral: \[ = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx \] Calculamos la integral: \[ = \left[-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\right]_{-1}^{2} \] Evaluamos en \( x = 2 \): \[ = -\frac{2}{3}(2^3) + (2^2) + 4(2) = -\frac{16}{3} + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + \frac{12}{3} + \frac{24}{3} = \frac{20}{3} \] Evaluamos en \( x = -1 \): \[ = -\frac{2}{3}(-1^3) + (-1^2) + 4(-1) = \frac{2}{3} + 1 - 4 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{7}{3} \] Ahora restamos los resultados: \[ \text{Área} = \left(\frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right)\right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \] Por lo tanto, el área encerrada por las funciones es: \[ \text{Área} = 9 \, u^2 \] La respuesta correcta es: **a) \( 9 u^{\wedge} 2 \)**.