-18. Un quadrilateroe formato da due triangoli ren- tangoli che condividono un lato. Un triangolo ha un cateto di 3 cm e l'altro coincidente con l'ipotenusa del secondo triangolo, che invece ha l'area di \( 3,84 \mathrm{~cm}^{2} \) e un cateto di \( 3,2 \mathrm{~cm} \). Cal- cola il perimetro e l'area del quadrilatero.

Per risolvere il problema, iniziamo a calcolare le dimensioni dei due triangoli rettangoli. ### Triangolo 1 Il primo triangolo ha un cateto di \( 3 \, \text{cm} \) e un cateto che coincide con l'ipotenusa del secondo triangolo. Chiamiamo \( b_1 \) l'altro cateto del primo triangolo e \( h_1 \) l'ipotenusa. ### Triangolo 2 Il secondo triangolo ha un cateto di \( 3,2 \, \text{cm} \) e un'area di \( 3,84 \, \text{cm}^2 \). Possiamo usare la formula dell'area del triangolo rettangolo: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \cdot \text{cateto}_1 \cdot \text{cateto}_2 \] Sappiamo che uno dei cateti è \( 3,2 \, \text{cm} \), quindi possiamo chiamare l'altro cateto \( b_2 \): \[ 3,84 = \frac{1}{2} \cdot 3,2 \cdot b_2 \] Risolvendo per \( b_2 \): \[ 3,84 = 1,6 \cdot b_2 \] \[ b_2 = \frac{3,84}{1,6} = 2,4 \, \text{cm} \] Ora abbiamo i cateti del secondo triangolo: \( 3,2 \, \text{cm} \) e \( 2,4 \, \text{cm} \). ### Calcolo dell'ipotenusa del secondo triangolo Possiamo calcolare l'ipotenusa \( h_2 \) del secondo triangolo usando il teorema di Pitagora: \[ h_2 = \sqrt{(3,2)^2 + (2,4)^2} \] \[ h_2 = \sqrt{10,24 + 5,76} = \sqrt{16} = 4 \, \text{cm} \] ### Calcolo dell'ipotenusa del primo triangolo Ora possiamo calcolare l'ipotenusa \( h_1 \) del primo triangolo, che ha un cateto di \( 3 \, \text{cm} \) e l'altro cateto \( h_2 = 4 \, \text{cm} \): \[ h_1 = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ h_1 = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm} \] ### Perimetro del quadrilatero Il quadrilatero è formato dai lati dei due triangoli. I lati sono: - Cateto del primo triangolo: \( 3 \, \text{cm} \) - Cateto del primo triangolo: \( 4 \, \text{cm} \) (che coincide con l'ipotenusa del secondo triangolo) - Cateto del secondo triangolo: \( 3,2 \, \text{cm} \) - Cateto del secondo triangolo: \( 2,4 \, \text{cm} \) Il perimetro \( P \) del quadrilatero è dato da: \[ P = 3 + 4 + 3,2 + 2,4 = 12,6 \, \text{cm} \] ### Area del quadrilatero L'area \( A \) del quadrilatero è la somma delle aree dei due triangoli: 1. Area del primo triangolo: \[ A_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \, \text{cm}^2 \] 2. Area del secondo triangolo: \[ A_2 = 3,84 \, \text{cm}^2 \] Quindi l'area totale del quadrilatero è: \[ A = A_1 + A_2 = 6 + 3,84 = 9,84 \, \text{cm}^2 \] ### Risultati finali - **Perimetro del quadrilatero**: \( 12,6 \, \text{cm} \) - **Area del quadrilatero**: \( 9,84 \, \text{cm}^2 \)