Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por \( y=\sqrt{x}, y=2-x, 0 \leq x \leq 1 \) y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y=-1 \) \( \frac{7}{2} \pi \) \( \frac{9}{2} \pi \) \( \frac{11}{2} \pi \) \( \frac{5}{2} \pi \)

Para resolver este problema, utilizaremos el método del volumen generado por rotación alrededor de un eje. La región limitada por las curvas \( y=\sqrt{x} \), \( y=2-x \), y el eje \( y \) se encuentra en el cuadrante derecho del plano cartesiano, entre \( x=0 \) y \( x=1 \). El sólido se forma al rotar esta región alrededor de la recta \( y=-1 \). Para encontrar el volumen, utilizaremos la fórmula del volumen generado por rotación alrededor de un eje horizontal: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)]^2 \, dx \] donde \( R(x) \) es la distancia desde la curva hasta la recta \( y=-1 \). Primero, encontremos \( R(x) \): \[ R(x) = y_{\text{máxima}} - (-1) = \max(y=\sqrt{x}, y=2-x) + 1 \] Para determinar la función \( y \) que define la distancia \( R(x) \), necesitamos encontrar el punto de intersección entre \( y=\sqrt{x} \) y \( y=2-x \): \[ \sqrt{x} = 2 - x \] \[ x + \sqrt{x} = 2 \] \[ (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = 0 \] El punto de intersección es \( x=1 \), donde \( y=1 \). Por lo tanto, en el intervalo \( 0 \leq x \leq 1 \), \( y=\sqrt{x} \) es la curva superior y \( y=2-x \) es la curva inferior. Para \( 0 \leq x < 1 \), \( R(x) = \sqrt{x} + 1 \). Para \( x=1 \), \( R(1) = 1 + 1 = 2 \). Entonces, el volumen \( V \) se puede dividir en dos partes: \[ V = \pi \int_{0}^{1} [(\sqrt{x} + 1)^2] \, dx + \pi \int_{1}^{1} [2^2] \, dx \] La segunda integral es cero porque el intervalo de integración es de \( 1 \) a \( 1 \). Para la primera integral: \[ \pi \int_{0}^{1} [(\sqrt{x} + 1)^2] \, dx = \pi \int_{0}^{1} [x + 2\sqrt{x} + 1] \, dx \] Integramos cada término: \[ \pi \left[ \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx + \int_{0}^{1} 1 \, dx \right] \] \[ \pi \left[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{1} + \left. \frac{4}{3}x^{3/2} \right|_{0}^{1} + \left. x \right|_{0}^{1} \right] \] \[ \pi \left[ \frac{1}{2} + \frac{4}{3} + 1 \right] \] \[ \pi \left[ \frac{3}{6} + \frac{8}{6} + \frac{6}{6} \right] \] \[ \pi \left[ \frac{17}{6} \right] \] \[ V = \frac{17}{6} \pi \] Sin embargo, esto no coincide con ninguna de las opciones dadas. Vamos a revisar el cálculo. Para \( 0 \leq x < 1 \), \( R(x) = \sqrt{x} + 1 \). Para \( x=1 \), \( R(1) = 1 + 1 = 2 \). Entonces, el volumen \( V \) se puede dividir en dos partes: \[ V = \pi \int_{0}^{1} [(\sqrt{x} + 1)^2] \, dx + \pi \int_{1}^{1} [2^2] \, dx \] La segunda integral es cero porque el intervalo de integración es de \( 1 \) a \( 1 \). Para la primera integral: \[ \pi \int_{0}^{1} [(\sqrt{x} + 1)^2] \, dx = \pi \int_{0}^{1} [x + 2\sqrt{x} +